浙江专版2019版高考数学一轮复习第四章三角函数4.3三角恒等变换学案

1、4.3三角恒等变换考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171.和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.掌握4,5分18(2),7分18(文),约4分16(1),7分7,5分16(1)(文),7分11(文),6分16(1)(文),7分14,约3分2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换.掌握6,5分18(1),7分18(文),约4分16(2),7分10,6

2、分16(2)(文),7分18,约7分分析解读1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2016浙江10题).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2019年高考试题中,三角恒等变换仍是考查重点,复习时应引起高度重视.五年高考考点一和与差的三角函数1.(2016课标全国,9,5分)若cos=,则sin 2=() A.B.C.-D.-答案D2.(2015课标,2,5分)sin 20cos 10-cos 160sin 10=() A.-B.C.-D.

3、答案D3.(2015重庆,9,5分)若tan =2tan,则=()A.1B.2C.3D.4答案C4.(2017课标全国文,15,5分)已知,tan =2,则cos=.答案5.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan =.答案6.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)=,则tan 的值为.答案37.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是.答案8.(2014浙江文,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2 +4sin Asin B=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,ABC的面积为6,求边长c的值.解析

4、(1)由已知得21-cos(A-B)+4sin Asin B=2+,化简得-2cos Acos B+2sin Asin B=,故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.(2)由SABC=absin C=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得c=.教师用书专用(911)9.(2013重庆,9,5分)4cos 50-tan 40=()A.B.C.D.2-1答案C10.(2014江苏,15,14分)已知,sin =.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为,sin =,所以cos =-=-.故sin=sincos +cossin =+=-.(

5、2)由(1)知sin 2=2sin cos =2=-,cos 2=1-2sin2=1-2=,所以cos=coscos 2+sinsin 2=+=-.11.(2013广东,16,12分)已知函数f(x)=cos,xR.(1)求f 的值;(2)若cos =,求f .解析(1)f=cos-=cos=cos =1.(2)f=cos=cos=cos 2-sin 2.因为cos =,所以sin =-,所以sin 2=2sin cos =-,cos 2=cos2-sin2=-,所以f=cos 2-sin 2=-=.考点二简单的三角恒等变换1.(2013浙江,6,5分)已知R,sin +2cos =,则tan

6、 2=()A.B.C.-D.-答案C2.(2017课标全国文,4,5分)已知sin -cos =,则sin 2=()A.-B.-C.D.答案A3.(2017山东文,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=()A.-B.C.-D.答案D4.(2014课标,8,5分)设,且tan =,则() A.3-=B.3+=C.2-=D.2+=答案C5.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A=,b=.答案;16.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=.答案7.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x

7、)-.(1)若0,且sin =,求f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0,sin =,所以cos =.所以f()=-=.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以T=.由2k-2x+2k+,kZ,得k-xk+,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.解法二: f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin.(1)因为0,sin =,所以=,从而f()=sin=sin=.(2)T=.由2k-2x+2k+,kZ,得k-xk+,k

8、Z.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.教师用书专用(812)8.(2013四川,13,5分)设sin 2=-sin ,则tan 2的值是.答案9.(2013课标全国,15,5分)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.答案-10.(2013课标全国,15,5分)设为第二象限角,若tan=,则sin +cos =.答案-11.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=

9、(3,-),ab,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x0,所以x+,从而-1cos.于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+=,即x=时, f(x)取到最小值-2.12.(2013重庆,20,12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(1)求C;(2)设cos Acos B=,=,求tan 的值.解析(1)因为a2+

10、b2+ab=c2,由余弦定理有cos C=-,故C=.(2)由题意得=,因此(tan sin A-cos A)(tan sin B-cos B)=,tan2sin Asin B-tan (sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,tan2sin Asin B-tan sin(A+B)+cos Acos B=.因为C=,所以A+B=,所以cos(A+B)=,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.由得tan2-5tan +4=0,解得tan =1或tan =4.三年模拟A组20162

11、018年模拟基础题组考点一和与差的三角函数 1.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,4)已知sin=-,cos=,则属于()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案C2.(2018浙江9+1高中联盟期中,12)设sin 2=sin ,(0,),则cos =,tan 2=.答案;-3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,15)已知sin(3-)=sin(R),则cos=.答案4.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,20)已知a=(2cos ,2sin ),b=(cos ,sin ),其中00)的最小正周期为,当x=时,有最大值4.(1)求a,b,的值;(2)若x,且

12、f=,求f的值.解析(1) f(x)=acos x+bsin x=sin(x+),其中sin =,cos =.由条件得=,=4,f(x)=acos 4x+bsin 4x,又x=时,有最大值4,-a+b=4,解得a=-2,b=2.(7分)(2)由(1)得f(x)=2sin 4x-2cos 4x=4sin,则f=4sin=,cos 4x=,x,cos 2x=-=-,f=4sin=4cos 2x=-. (14分)8.(2017浙江杭州二模(4月),18)设函数f(x)=2cos x(cos x+sin x)(xR).(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x时,求函数f(x)的最

13、大值.解析(1)f(x)=2cos x(cos x+sin x)=2sin+1.函数y=f(x)的最小正周期为.令2k-2x+2k+(kZ),得k-xk+(kZ),函数y=f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)x,2x+,sin,函数f(x)的最大值是3.9.(2017浙江测试卷,18)已知函数f(x)=sin xsin.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x时,求f(x)的取值范围.解析(1)f(x)=sin2x+sin xcos x=(1-cos 2x)+sin 2x=sin+,函数f(x)的最小正周期为.(2)0x,-2x-,-sin1,0sin+,即f(x)的取值范围为.B组201

14、62018年模拟提升题组一、选择题 1.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),2)设R ,则“cos 2=-”是“cos =”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B二、填空题2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),13)已知sin =cos +,且,则的值为.答案-3.(2017浙江名校协作体期初,11)已知函数f(x)=sin 2x(1-2sin2x)+1,则f(x)的最小正周期T=, f(T)=.答案;1三、解答题4.(2018浙江9+1高中联盟期中,18)设函数f(x)=sin+sin2x-cos2x.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)

15、若角A满足f(A)=1,a=,ABC的面积为,求b+c的值.解析(1)f(x)=sin 2x+cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,令-+2k2x-+2k,kZ,得-+kx+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为,kZ.(7分)(2)f(A)=sin=1,0A,-2A-,2A-=,解得A=.ABC的面积S=bcsin A=,bc=2.又b2+c2-2bccos=3,化简得(b+c)2-3bc=3,则(b+c)2=9,b+c=3.(14分)5.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,18)已知f(x)=2cos2x+sin 2x-+1(xR).(1)求f(x)的单调增区

16、间;(2)当x时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin 2x+(2cos2x-1)+1=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.(4分)(1)令2k-2x+2k+,kZ,即2k-2x2k+,kZ,k-xk+(kZ),函数f(x)的单调增区间为(kZ).(10分)(2)x,2x+,sin,f(x)0,3.(14分)6.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),18)设函数f(x)=2sin xcos x-cos.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,上的单调递增区间.解析(1)f(x)=sin 2x-(2分)=sin 2x-cos 2x=sin.(5分)故函数f(x)

17、的最小正周期为.(7分)(2)由-+2k2x-+2k,kZ,可得-+kx+k,kZ,(10分)取k=0,则x,取k=1,则x,(12分)又因为x0,所以f(x)的单调递增区间为,.(写开区间也对)(14分)7.(2016浙江第一次五校联考,16)已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-(xR).(1)当x时,求函数f(x)的值域;(2)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=, f(C)=0,若向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,求a,b的值.解析(1)f(x)=sin 2x-=sin 2x-cos 2x-1=sin-1.(3分)-x,-2x-,-si

18、n1,从而-1-sin-10.故函数f(x)的值域为.(7分)(2)由f(C)=sin-1=0,得sin=1,0C,-2C-,2C-=,解得C=.向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,sin B=2sin A,(9分)由正弦定理得b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=3,由解得a=1,b=2.(14分)C组20162018年模拟方法题组方法1应用公式化简、求值的解题策略 1.求下列各式的值:(1)cos 80cos 35+cos 10cos 55;(2)sin-cos;(3)sin+cos.解析(1)原式=cos 80cos 35+sin 80sin 35=cos(80-35)=cos 45=.(2)原式=2=2=-2=-2cos=-2cos=-.(3)原式=cos=cos=.方法2辅助角公式的应用的解题策略2.(2017浙江