课标通用2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数学案理

1、2.6对数与对数函数考纲展示1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3知道对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)考点1对数的运算1.对数的概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数答案：xlogaNaN2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)_；loga_；logaMn_(nR)；logam

2、MnlogaM.(2)对数的性质：alogaN_；logaaN_(a0且a1)(3)对数的重要公式：换底公式：logbN(a，b均大于0且不等于1)；logab，推广logablogbclogcd_.答案：(1)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM(2)NN(3)logad(1)教材习题改编lglg的值是()A.B1 C10D100答案：B(2)教材习题改编(log29)(log34)()A.B C2D4答案：D(3)教材习题改编已知log53a，log54b，lg 2m，求的值(用m表示)解：2lg 52(1lg 2)2(1m)误用对数运算法则(1)log3log31_.(2

3、)(log29)(log34)_.答案：(1)2(2)4解析：(1)原式log331log33132.(2)解法一：原式4.解法二：原式2log23224.典题1(1)设2a5bm，且2，则m()A.B10C20D100答案A解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.(2)计算：log2_；2log23log43_；(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_.答案32解析log2log2log221；2log23log432 log232 log4332 log43323.(lg 2)2lg 2lg 50lg 25(lg 2)2(1lg 5)lg

4、 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(3)已知函数f(x)则f(2log23)的值为_答案解析因为2log234，所以f(2log23)f(3log23)，而3log234，所以f(3log23)3log23 log23.点石成金对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考点2对数函数的图象及应用对数函数的图象ylogaxa10a0得

5、x1，且函数ylog2x在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，)(2)函数yloga(x1)2(a0，a1)的图象恒过的点是_答案：(2,2)解析：因为对数函数ylogax的图象恒过点(1,0)，所以函数yloga(x1)的图象恒过点(2,0)，所以函数yloga(x1)2的图象恒过点(2,2)对数函数常见两误区：概念；性质(1)函数f(x)lg的定义域是_，函数g(x)lg(x3)lg(x2)的定义域是_答案：x|x3或x3解析：由0得x3或x3或x3，所以函数g(x)lg(x3)lg(x2)的定义域是x|x3可以看出f(x)与g(x)不是同一函数(2)2014天津卷函数f(x

6、)lg x2的单调递减区间是_答案：(，0)解析：函数f(x)lg x2的单调递减区间需满足x20且yx2单调递减，故x(，0)典题2(1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1答案D解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a1.又当x0时，y0，即logac0，所以0c1.(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A.BC(1，)D(，2)答案B解析由题意，得当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，42，即

7、函数y4x的图象过点.把点代入函数ylogax，得a.若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1(如图所示)当a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.题点发散1若将本例(2)中的条件换为“不等式(x1)2logax在x(1,2)时恒成立”，如何求解？解：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当0a1时，如图要使当x(1,2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga

8、2，又即loga21，所以1a2，即实数a的取值范围是(1,2题点发散2若将本例(2)中的条件换为“不等式(x1)2(x1)2恰有三个整数解，画出图象可知a1，其整数解集为2,3,4，则应满足得a.即实数a的取值范围为，)点石成金在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.1.函数f(x)lg的大致图象为()ABCD答案：D解析：f(x)lg lg|x1|的图象可由偶函数ylg|x|的图象左移1个单位得到由ylg|x|的图象

9、可知选D.2设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x21D0x1x21答案：D解析：作出y10x与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨设x1x2，则x11x20，所以10x1lg(x1)，10 x2lg(x2)，此时10 x110 x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x20y0y0增减2反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称答案：yx考情聚焦对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有主要有以下

10、几个命题角度：角度一比较大小典题3(1)设alog32，blog52，clog23，则()AacbBbcaCcbaDcab答案D解析23,12，32，log3log32log33，log51log52log5，log23log22，a1,0b，c1，cab.(2)已知xln ，ylog52，ze，则()AxyzBzxyCzyxDyzx答案D解析xln ln e，x1.ylog52log5，0y.ze，z1.综上可得，yzx.点石成金比较对数函数值大小的三种方法(1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底(2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“

11、1”或其他特殊值进行“比较传递”(3)图象法，根据图象观察得出大小关系角度二由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围典题4(1)函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，)B(0,1)C.D(3，)答案D解析由于a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又uax3在1,3上恒为正，a30，即a3.(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案C解析由题意可得，或 解得a1或1a0.(3)函数f(x)a

12、xloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为_答案解析yax与yloga(x1)的单调性相同当a1时，f(x)的最大值为f(1)，最小值为f(0)当0a1时，f(x)的最大值为f(0)，最小值为f(1)不论a1还是0a1都有f(0)f(1)a，即a0loga1aloga2a，解得a.点石成金1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解2对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论角度三对数函数性质的综合问题典题5(1)设函数f(x)|logax|(0a1)的定义域为m，n

13、(mn)，值域为0,1，若nm的最小值为，则实数a的值为()A.B或C.D或答案C解析作出y|logax|(0a1)的大致图象如图所示，令|logax|1，得xa或x，又1a1a0，故1a0时，f(x)是增函数；当x1且b1或0a1且0b0；当a1且0b1或0a1时，logab0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围 真题演练集训 12015湖南卷设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且

14、在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数答案：A解析：由得1x0，故f(x)在(0,1)上为增函数故选A.22015陕西卷设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，rf(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrpBqrp CprqDprq答案：C解析：因为ba0，故.又f(x)ln x(x0)为增函数，所以ff()，即qp.又rf(a)f(b)(ln aln b)lnp.32014天津卷函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)答案：D解析：函数yf(x)的定义域为(，2)(2，)，因为函数yf(x)是由ylogt与tg(

15、x)x24复合而成，又ylogt在(0，)上单调递减，g(x)在(，2)上单调递减，所以函数yf(x)在(，2)上单调递增故选D.42014福建卷若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()A BC D答案：B解析：因为函数ylogax过点(3,1)，所以1loga3，解得a3，所以y3x不可能过点(1,3)，排除A；y(x)3x3不可能过点(1,1)，排除C；ylog3(x)不可能过点(3，1)，排除D.故选B.52016浙江卷已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.答案：42解析：由于ab1，则logab(0,1)，因为logablogba，即logab，所以logab或logab2(舍去)，所以ab，即ab2，所以ab(b2)bb2bba，所以a2b，b22b，所以b2(b0舍去)，a4.62015浙江卷若alog43，则2a2a_.答案：解析： alog43log223log23log2， 2a2a222. 课外拓展阅读 数形结合思想在对数函数中的应用典例2017江西七校联考已知定义在R上