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1、复变函数与积分变换,第四章 级数,1. 复数项级数,2. 幂级数,3. 泰勒级数,4. 洛朗级数,5. 第四章小结与习题,第三节 泰勒级数,问题的引入,1,泰勒定理,2,小结与思考,5,典型例题,4,将函数展开成泰勒级数,3,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,令,则在K上连续,即存在一个正常数M,从而在K内,泰勒级数,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,二、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,泰勒介绍,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;

2、(想一想, 为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),因为解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.,注意,问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,那末,即,因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,例如，,故有,仿照上例 ,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式，结合解析函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的泰勒展

3、开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直接展开更为简洁，使用范围也更为广泛 .,例如，,附: 常见函数的泰勒展开式,例1,解,四、典型例题,上式两边逐项求导,例2,分析,如图,即,将展开式两端沿 C 逐项积分, 得,解,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,五、小结与思考,通过本课的学习，应理解泰勒展开定理，熟记五个基本函数的泰勒展开式，掌握将函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项，偶函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,Thank You!,再见！,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 17

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