2.3.2抛物线的简单几何性质

1、2.3.2 抛物线的简单几何性质(1),霞浦六中 王朝俤,重德 博学 务实 尚美,一、温故知新,1.抛物线的定义及标准方程,1.已知抛物线上任意点 p 到焦点的距离为3， 则点 p到抛物线相应准线的距离为 _. 2.已知：抛物线方程y=4x2, 则其焦点为_，准线为_. 3.已知抛物线方程为 y2=4x 抛物线上点 p(2,y), 则p点到焦点的距离为_.,3,3,重德 博学 务实 尚美,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,重德

2、博学 务实 尚美,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,重德 博学 务实 尚美,定义：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.只有一个.,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,重德 博学 务实 尚美,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,下面请大家得出其余三

3、种标准方程抛物线的几何性质。,重德 博学 务实 尚美,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,重德 博学 务实 尚美,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,特点：,重德 博学 务实 尚美,过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截

4、得的线段AB叫做抛物线的通径，,P越大，开口越阔,补充（1）通径：,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,长度为2p,A,B,重德 博学 务实 尚美,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（2）焦半径：,重德 博学 务实 尚美,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标 原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.,三、典例分析,解：依题意设抛物线方程,解得：p=2.,所求方程为,把点M(2 , )代入,重德 博学 务实 尚美,重德 博学 务实 尚美,重德 博学 务实 尚美,重德 博学 务实 尚美,重德 博学 务实 尚美,解法四,A1,B1,H,同理,重德 博学 务实 尚美,（焦点弦问题）,如图所示，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.,相切,三、探究拓展,-p2,重德 博学 务实 尚美,重德 博学 务实 尚美,解法二：设抛物线方程为,得,解法一：（代数法）,解得 p=2,所求抛物线方程：,重德 博学 务实 尚美,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的