[考研数学]北京航天航空大学线性代数 7-1(a).ppt

1、主要内容点播,一.向量空间的概念 二.子空间 向量空间的基与维数,（7-1）2,说明,一.向量空间的概念,定义1设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间， 就说 是 的子空间,实例,二.子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,三.向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示

2、为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,四.向量的坐标, 基变换与坐标变换 书P250,将本小节中的“元素”改为“向量”即可,(一) 向量的坐标,定义 设V是数域K上的n维向量空间,是V的一组基底, 对任意V, 可由基底线性表出,则称有序数,为向量在基底,下的坐标, 记作,定理3.1 设1, 2, , n是向量空间V的一组基底, V, 则表达式,是唯一的(坐标的唯一性).,证明,设在基底1, 2, , n下有两种表达式,则,由1, 2, , n线性无关, 得,例2 若1, 2, , n是向量空间V的基底, 则,也是V中一组基底,证明,

3、只要证明1, 2, , n线性无关., 1, 2, , n线性无关,k1 1+k2 2+kn n=0只有零解.,代入 1, 2, , n的表达式, 得,(k1a11+k2a21+knan1) 1+ (k1a12+k2a22+knan2) 2,+ (k1a1n+k2a2n+knann) n=0,由 1, 2, , n线性无关, 则,注,例2给出了用已知基底构造其它基的方法.,2. 基变换与坐标变换,问题：同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐标之间的关系如何？,此方程组只有零解系数行列式不为零,定义 设 1, 2, , n与1, 2, , n是n维向量空间V的两组基, 并且,令,称P为由基底 1,

4、 2 , , n到1, 2, , n的过渡矩阵, (1)称为基底变换公式.,( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P,利用矩阵乘法运算的规则, (1)可以写成,设 1, 2, , n与 1, 2, , n是向量空间V的两组基底, 由 1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵为P, 如果V中任意元素在这两组基底下坐标分别为(x1, x2, , xn)与(y1, y2, , yn), 则,或,定理3.2,( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P,基底变换公式.,坐标变换公式.,证明,设 =x1 1+x2 2+ +xn n, =y1 1+y2 2+ +yn n,由,(

5、 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P,代入得,由坐标的唯一性, 得,由P可逆, 因此,例3 设n维向量空间中1=(1, 0, , 0), 2=(0, 1, , 0), , n=(0, 0, , 1)是一组基底(自然基)， e1 =(1, 0, , 0)T , e2 =(1, 1, 0, , 0)T , , en =(1, 1, , 1)T 也是一组基底. 求由基底1, 2, , n到e1, e2, , en的过渡矩阵及坐标间的关系.,解,则,为基底1, 2, , n到e1, e2, , en的过渡矩阵.,由,即,例4 在三维向量空间R3中求向量对两组基底,1=(1, 2, 1), 2=(2, 3, 3), 3=(3, 7, 1)与,1=(3, 1, 4), 2=(5, 2, 1), 3=(1, 1, -6),的不同坐标间的变换公式.,解,设R3中自然基为 1=(1, 0, 0), 2=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1),则,1=(1, 2, 1), 2=(2, 3, 3), 3=(3, 7, 1)与,重点,重点,重点,得到,于是由 1, 2, 3到 1, 2, 3的过渡矩阵,从而,于是,向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基和维数： 求向量空