计算方法第一章.ppt

1、数值计算方法,引 言,第一章,1.数值计算方法及其主要研究内容,随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法，已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课，也是工科硕士研究生的学位必修课。,计算数学：常称为数值分析或（数值）计算方法。 主要是研究如何运用计算工具（如计算 器、计算机等）去获得数学问题的数值 解的理论和方法。,当代实践表明：计算方法正在日趋明显地成为数学 与计算机科学的交叉性科学。,对那些在

2、经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时又十分有效。,边缘科学：计算物理，计算力学，计算化学， 计算生物学，计算经济学等。,算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及 规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构 成的完整计算步骤称为算法。,运算量(计算量)：,一个算法所需的乘除运算总次数,计算量是衡量一个算法好坏的重要指标!,计算数学的根本任务就是研究算法,研究数值算法的任务主要有：,(1) 构造计算机上可执行的算法,(2) 构造计算复杂性好的算法,(3) 构造可靠性好的数值方法,计算机上可执行

3、的运算：,四则运算,逻辑运算,尽可能提高数值方法的计算速度和少占存贮空间。,选择或研制能达到“数值问题”要求的计算精度的数值方法，为此须研究数值问题的性态及数值方法的稳定性。,计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加、减、乘、除等基本运算 数值方法。,例1.1.1,求二次方程,求根公式为：,的根。,开方运算不能在计算机上直接进行运算，必须 化为可在计算机上执行的等价运算。,即应化为公式：,例1.1.2 已知 a0, a1, a2 , an, x, 计算多项式：,直接计算：运算量（乘法）,秦九韶算法（1247年）：,运算量：,例1.1.3 解线性方程组,其中，, 克兰姆(Cramer)

4、法则：,运算量(乘除)：,高斯消元法(Gauss)：,运算量(乘除),Gauss: 3060次,Cramer:,理论上很“漂亮”的Cramer法则 在计算机上并不适用！,一个计算过程主要包括如下几个环节：,(1) 数学建模：将工程问题数学化,工程中的数学模型一般可分为三类：,(2) 算法设计：将数学问题数值化,连续型（确定型）,离散型（统计型）,不确定型（随机型）,本书重点讨论,例1.1.4 求解线性方程组,求解二次方程,是数值问题,求解微分方程,不是数值问题,将其变成数值问题，即将其“离散化”,“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一,?,(3)

5、程序设计：将数值问题机器化,软件开发方法：,结构化方法：,面向过程，“自顶而下，逐步细化”,其关键方面：,划分模块,设计或选择模块的算法,充实细节,组装式开发方法：,面向对象，“自下向上”,例1.1.5,求二次方程,的根。,此问题本身可看成功能单一的模块,数值方法：,直接方法，即用求根公式,迭代方法（后面将介绍）,须考虑的细节：,(4) 上机运行：数值模拟物理过程,(5) 计算结果再表示：如图像的可视化等,(6) 可靠性分析：分析计算结果的可靠性，必要时 重复上述过程。,其中算法设计是本书的核心内容。本书针对来源于 科学与工程中的数学模型问题，介绍计算机上常用 的数值方法的算法设计思想并进行算

6、法分析。,本书研究内容：对如下五类问题探索数值求解方法 及其与算法有关的理论分析,(1) 非线性方程求根,(2) 求解线性代数方程组的数值方法,(3) 数值逼近：插值逼近和最佳逼近,(4) 数值微分和数值积分,(5) 常微分方程数值解法,将问题可算化的手段：将问题可算化是设计一个算 法的第一步,(1) 用有限维空间代替无限维空间,(2) 用有限过程代替无限过程,(3) 用简单问题代替复杂问题,(4) 扰动分析：估计误差或精度,余项(即截断误差)为,例1.1.6,解,根据微分学的Taylor公式，有,将问题可算化，即用有限过程代替无限过程,仅包含有限次 的四则运算,构造算法的途径：(多用于确定型

7、连续的数学模型),(1) 迭代技术（迭代法）,(2) 离散化技术,(3) 离散问题解析化技术,(4) 优化技术,例1.1.7,解,若已知根的粗略近似值，根据Taylor公式，有,取等式右边前二项近似替代f(x)，就会得到容易求解的线性方程,称为迭代序列,Newton迭代法,对于迭代法，通常需考虑迭代序列的收敛性与收敛效率！,2.误差及误差分析,计算公式中的运算必须是在计算机上可执行的运算,参与运算的数必须是有限小数或整数,因此，数值方法中的取数和运算往往会出现误差，算得 的结果（称为计算值）一般也为近似值。,在任何科学计算中，其解的精确性 总是相对的，而误差则是绝对的。,数值方法中的计算公式及

8、参与运算的数，都和数学中的 一般情况有所不同，即,一、误差的种类及来源,一个物理量的真实值和我们算出的值（即计算值）往往存在差异，它们之差称为误差。,模型误差,在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，而对问题作一些简化，因此数学模型和实际问题之间有一定的误差。,观测误差,在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的，受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素限制，不可能获得精确值，由此而来产生的误差。,截断误差,由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算，因此要将有些需用极限或无 穷过程进行的运算有限化，对无穷过程 进行截断，这

9、就带来误差。,例:,若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式， 由于以后各项都舍弃了，自然产生了误差,Taylor展开,舍入误差,在数值计算过程中还会遇到无穷小数，因 计算机受到机器字长的限制，它所能表示 的数据其位数只能是有限的，如按四舍五 入规则取有限位数，由此引起的误差,另外还有过失误差，这类误差是由于模型错误或方法 错误所引起的，一般可以避免。,结论：误差是不可避免的,经过大量的运算之后，积累的总误差有时会大得惊 人，因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究 对象。,在种误差中，前种是客观存在的，后种是计算方法引起的。数学模型一旦建立，进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差

10、。因此本课程只涉及这种误差。,在实际问题中求精确解是没有意义的，求近似解是正常的。问题是如何尽量减少误差，提高精度。,二、误差和误差限,定义1.2.1,绝对误差限或误差限,显然,有时也表示为,且,哪个更精确呢?,定义1.2.2,绝对误差和绝对误差限仅考虑了误差值本身的大小，没 有考虑准确值的大小。为了能较好地反映近似值的精确 程度，还应考虑准确值的大小。,绝对误差限,相对误差限,代替相对误差,代替相对误差限,因此,往往未知,例1.2.1,解,例1.2.2,解,可见，经四舍五入取近似值，其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位。,三、浮点数与有效数字,定点数：小数点的位置固定在个位数后。,机器

11、数：计算机中可表示的数。,为了提高精度，机器数通常是用浮点数表示的。,称为基数,称为尾数或数码,称为阶码,其中基数是正整数，一般取为，但为照顾习惯和书写方便，通常化为十进制数输入或输出。阶码是整数。,一定型号的计算机，尾数的位数t是固定的，称为计算机 的位数；阶码m也有一定的取值范围：,有4位有效数字,有6位有效数字,定义1.2.3,有8位有效数字,只有4位有效数字！,由于计算机只能表示有限个数，故通常利用某种舍入规则(如四舍五入，截断误差等)，将数进行浮点化。因而势必产生舍入误差。,n+m位有效数字,n-m位有效数字,n位有效数字,如何确定有效数字、绝对误差限、相对误差限？,说明有效数字位数

12、与小数点的位置无关。只有写成规格化 形式后，小数点后的位数才能反映出其有效位数的多少。,因此，根据上述分析，对有效数字有如下结果：,定理1.2.1,例1.2.3,求下列四舍五入近似值的有效数字位数.,3位,3位,4位,4位,3位,5位,补充,例1.2.4,实际上只有1位！,试求它们的有效数字位数。,解,k=1, n=2, m=2,例1.2.5,从以上分析可见，四舍五入的近似值的数字都是有效数字,而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字。,k=3, m=4,n=3,k=4, m=5 n=4,定理1.2.2,证明,下面的结果论述了相对误差与有效数字的关系,补充,即,则有,由定理1.2.1可

13、知，,例1.2.6,解,定理1.2.3,该结论可以参照定理1.2.2的证明，请同学们自证,补充,定理说明:有效数字位数越多相对 误差限就越小，反之亦然。,例1.2.7,解,则根据定理1.2.3，相对误差满足,即应取4位有效数字，近似值的误差不超过0.1%.,四、误差的传播,1、数据误差的传播,由多元函数的Taylor展开公式可得，,的绝对误差为：,相对误差为：,称为 f 的条件数，其绝对值的大小可反映函数值对数据的敏感程度,利用上面的误差估计公式，可以得到两个数的和、差、积、商的误差估计,2、舍入误差的传播,因舍入导致的相对误差限仅与计算机的字长有关，通常 称相对误差限 为计算机的相对精度。,

14、即,在计算机中，数需首先转化为机器数，比如浮点数，在 运算器中参与运算后仍需将运算结果转化成浮点数的形 式进行存储。,由上面的讨论可以看出，为了求得满意的计算解，在选 用计算公式和设计算法时，都应注意如下普遍原则：,(1) 防止大数吃小数,主要由计算机的位数引起,选用算法应遵循的原则,计算机中数的计算特点：,加法先对阶，后运算，再舍入。,乘法先运算，再舍入。,不在计算机数系中的数做四舍五入处理。,计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对阶， 即把两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数。,例1.2.8,在四位浮点十进制数的计算机上计算1+ 104,解,1+ 104 =0.1000 101+ 0.

15、1000 105,= 0.00001 105 + 0.1000 105,(对阶计算),= 0.10001 105,= 0.1000 105 = 104,作一个有效数字为4位的连加运算,而如果将小数放在前面计算,在作连加时，为防止大数吃小数，应从小到大进行相加， 如此，精度将得到适当改善。当然也可采取别的方法。,例1.2.9,(2) 作减法时应避免两个相近数相减,两个相近的数相减，会使有效数字的位数严重损失！,例1.2.10,用四位浮点数计算,解,只有一位有效数字,有效数字大量损失，造成相对 误差扩大。,结果仍然有四位有效数字。,这说明了算法设计的重要性。在算法设计中，若可能出现两个相近数相减，

16、则改变计算公式，如使用三角变换、有理化等等。,例1.2.11,解方程,解,方程的精确解为,而如果在字长为8，基底为10的计算机上利用求根公式,机器吃了,因此在计算机上,上式是解二次方程的数值公式,的值与精确解差别很大！,(3) 避免小数作除数和大数作乘数,小数作除数或大数作乘数会产生溢出错误，因而产生大的误差。 在算法设计时，要避免这类情况在计算公式中出现。此时可以 根据一些具体情况, 把某些算式改写成另一种等价的形式，如 分母有理化等。,根据误差传播的估计式,3.算法的稳定性,如前所述，由于各种误差的存在，计算机往往只能近似地求解实际问题，因而计算时会冒风险。,例1.3.1,分析Wilkin

17、son多项式的根对系数的敏感程度。,见书P15例1.3.2,可以看出： Wilkinson（威尔金森）多项式系数的微小 变化，引起多项式根的剧烈波动。因此， Wilkinson多 项式的根对系数相当敏感。,一、问题的性态,如把方程组的系数 舍入成两位有效数字,它的精确解为x1 = -6.222. x2= 38.25 x3= -33.65.,例1.3.2,求解线性方程组,其精确解为 x1=x2=x3=1.,若对方程组的系数和中间结果均取3位10进制有效数字，然后用Gauss消元法求解，得到计算解为：,显然，该计算解的精度较差。,同样用Gauss消元法求解方程组：,也取3位10进制有效数字，得到计

18、算解为：,容易验证，它是方程组的精确解。,上述例子表明，数值问题计算解的精度，与数值问题本 身的性态有关。,定义1.3.1 在数值问题中，如果输出数据对输入数据的 扰动（如误差）很敏感，即若输入数据（如原始数据） 有较小的变化，会引起输出数据（如计算解）的较大变 化，称这类数值问题为病态问题或坏条件问题。非病态 问题又称为良态问题。,当计算机用近似计算求解病态问题时，是相当冒险的， 得到的结果可能根本不可靠。因此，处理病态问题必 须非常小心，一般应采用高精度算法。对于良态问题， 由于舍入误差的影响，不恰当的算法同样可引起计算 结果的不可信。,二、算法的稳定性与设计原则,例1.3.3,计算定积分,解,一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果，每一步的运算均可能会产生舍入误差。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。,误差放大 5千倍!,并假设计算过程中不产生新的舍入误差 。,误差会放大,由公式,可推出：,显然算法不稳定。理论上成立的算法，在计算机上计算 时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果 的失真，这是我们数值计算方法所要研究的。,(2) 利用递推公式,误差不会放大,数值稳定，在运算过程中，舍入误差不增大。,定义1.3.2 如果对于良态问题，在运算过程中,舍入误差 能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则 就