二轮复习案例设计--导数及其应用.ppt

1、导数及其应用,罗田一中 王建林,二轮复习案例设计,1.导数的概念 (1) (2) (3)f(x0)与f(x)的关系. 2.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x) 在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.即k=f(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,(3)导数的物理意义：s(t)=v(t),v(t)=a(t). 3.基本初等函数的导数公式和运算法则 （1）基本初等函数的导数公式,（2）导数的四则运算法则 u(x)v(x)=u(x)v(x). u(x)v(x)=u(x)v(x

2、)+u(x)v(x). (3)复合函数求导 复合函数y=f(g(x)的导数和y=f(u),u=g(x)的导数 之间的关系为yx=f(u)g(x). 4.函数的性质与导数 （1）在区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数 f(x)在区间（a,b）上单调递增. 在区间（a,b）内，如果f(x)0，那么函数f(x) 在区间（a,b）上单调递减.,（2）求极值的步骤 求f(x)；求f(x)=0的根；判定根两侧导 数的符号；下结论. （3）求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小 值的步骤 求f(x)； 求f(x)=0的根（注意取舍）； 求出各极值及区间端点处的函数值； 比较其大小，得结论（最大的就

3、是最大值，最 小的就是最小值）.,一、导数几何意义的应用 例1 （2008海南理，21）设函数 （a,bZ），曲线y=f(x)在点（2，f（2）处的 切线方程为y=3. （1）求f（x）的解析式； （2）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称 图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1 和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定 值.,思维启迪 (1)先求f(x).再由f(2)=0,f(2)=3. 解得a,b. (2)利用图象的对称和平移变换求解. (3)先求过曲线上任一点（x0,y0）的切线方程， 然后将面积用点（x0,y0）坐标表示，再用上点 （

4、x0,y0）在f(x)上即得证. （1）解 因为a,bZ，故,(2)证明 已知函数y1=x, 都是奇函数, 所以函数 也是奇函数,其图象是以原点 为中心的中心对称图形. 而 可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到 函数f(x)的图象, 故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称 图形. (3)证明 在曲线上任取一点 由 知,过此点的切线方程为,令x=1,得 切线与直线x=1的交点为 令y=x,得y=2x0-1, 切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1); 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为 所以,所围三角形的面积为定值2.,

5、探究提高 求曲线切线方程的步骤是： （1）求出函数y=f(x)在点x=x0的导数，即曲线 y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处切线的斜率； （2）在已知切点坐标P（x0,f(x0)）和切线斜率的 条件下，求得切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0). 注意：当曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线 平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可 知，切线方程为x=x0； 当不知道切点坐标时，应首先设出切点坐标， 再求解.,变式训练1 （2009启东模拟）已知函数f（x） 的图象在点M（-1，f（-1）处的 切线方程为x+2y+5=0. （1）求函数y=f（x）的解析式； （2）

6、求函数y=f（x）的单调区间. 解 （1）由函数f（x）的图象在点M（-1， f（-1）处的切线方程为x+2y+5=0， 知-1+2f（-1）+5=0， 即f（-1）=-2，,解得a=2，b=3或a=-6，b=-1, b+10，b=-1舍去. 所以所求的函数解析式是 （2） 令-2x2+12x+6=0，解得x1=3- ，x2=3+ . 当x3- ，或x3+ 时，f（x）0； 当3- x3+ 时，f（x）0.,所以 在（-，3- ）内是减函 数，在（3- ，3+ ）内是增函数，在 （3+ ，+）内是减函数. 所以f(x)的单调递增区间是（3- ，3+ ），单调递减区间是（-,3- ）,（3+ ,

7、+）.,二、利用导数研究函数的单调性 例2 （2009陕西文，20）已知函数f(x)=x3- 3ax-1,a0. (1)求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x) 的图象有三个不同的交点，求m的取值范围. 解 （1）f(x)=3x2-3a=3(x2-a). 当a0, 当a0时，由f(x)0解得x , 由f(x)0,解得- x ,当a0时,f(x)的单调增区间为(-, ), ( ,+),f(x)的单调减区间为（- , ）. (2)f(x)在x=-1处取得极值, f(-1)=3(-1)2-3a=0.a=1. f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3

8、. 由f(x)=0解得x1=-1,x2=1, 由（1）中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3. 直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的单调性可知m的取值范围是（-3，1）.,变式训练2 （2009北京文，18）设函数 f(x)=x3-3ax+b(a0). (1)若曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相 切，求a,b的值； （2）求函数f(x)的单调区间与极值点. 解 （1）f(x)=3x2-3a. 因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相 切， 所以 即 解得,f(2)

9、=0. f(2)=8,3(4-a)=0, 8-6a+b=8,a=4, b=24.,(2)f(x)=3(x2-a)(a0). 当a0函数f(x)在（-,+）单调递 增；此时函数f(x)没有极值点. 当a0时，由f(x)=0得x= . 当x(-,- )时,f(x)0,函数f(x)单调递增； 当x(- , )时，f(x)0,函数f(x)单调递增. 此时x=- 是f(x)的极大值点,x= 是f(x)的极小值点.,综上所述， 当a0时， f(x)的增区间是(-, ), ( ,+)，减区间是（- , ）. 当a0时，x= - 是极大值点 x = 是极小值点.,三、利用导数研究函数的极值和最值 例3 已知函

10、数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6), 且函数g(x)=f(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间； (2)若a0，求函数y=f(x)在区间（a-1，a+1）内 的极值. 思维启迪 （1）根据f(x)、g(x)的函数图象的性 质，列出关于m，n的方程，求出m、n的值. （2）分类讨论. 解 (1)由函数f(x)的图象过点（-1，-6）， 得m-n=-3. ,由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的图象关于y轴对称，所以 所以m=-3.

11、代入得n=0. 于是f(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f(x)0得x2或x0, 故f(x)的单调递增区间是(-,0),（2，+); 由f(x)0,得0x2, 故f(x)的单调递减区间是（0，2）. （2）由（1）得f(x)=3x(x-2), 令f(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,由此可得： 当0a1时，f(x)在（a-1，a+1）内有极大值 f(0)=-2,无极小值； 当a=1时，f(x)在（a-1，a+1）内无极值; 当1a3时，f(x)在（a-1，a+1）内有极小值 f(2)=-6,无极大值； 当a3时，f(x)在（a-1,a+1)内

12、无极值. 综上得,当0a1时，f(x)有极大值-2，无极小值；,当1a3时，f(x)有极小值-6,无极大值； 当a=1或a3时，f(x)无极值. 探究拓展 （1）求单调递增区间，转化为求不等式f(x)0(不恒为0)的解集即可，已知f(x)在M上递增 f(x)0在M上恒成立，注意区别. （2）研究函数的单调性后可画出示意图. 讨论区间与0，2的位置关系，画图截取观察 即可.,变式训练3 （2009广州模拟）函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P（1，f(1)）的切线方程为y=3x+1. （1）若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式； （2）在（1）的条件

13、下,求y=f(x)在-3，1上的 最大值； （3）若函数y=f(x)在区间-2，1上单调递增， 求实数b的取值范围. 解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得 f(x)=3x2+2ax+b. 过y=f(x)上点P（1，f(1)）的切线方程为 y-f(1)=f(1)(x-1),即,y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1). 而过y=f(x)上点P（1,f(1)）的切线方程为y=3x+1. 故 即 y=f(x)在x=-2时有极值，故f(-2)=0. -4a+b=-12. 由联立解得a=2,b=-4,c=5, f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)f(x)=3x2+4x-4

14、=(3x-2)(x+2), 令f(x)=0，解得,3+2a+b=3, -a+c-2=1,2a+b=0, c-a=3. ,列下表： f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为 又f(-3)=8,f(1)=4, f(x)在-3，1上的最大值为13. （3）y=f(x)在-2,1上单调递增. 又f(x)=3x2+2ax+b.由（1）知2a+b=0. f(x)=3x2-bx+b.,依题意在-2,1上恒有f(x)0, 即3x2-bx+b0在-2，1上恒成立， 当 时,即b6时f(x)min=f(1)=3- b+b0， b6时符合要求 当 时，即b-12时， f(x)min=f(-2)=12+2b+b0

15、, b不存在. 当 即-12b6时， f(x)min= 0b6, 综上所述b0.,规律方法总结 1.函数单调性的应用 （1）若可导函数f(x)在（a,b）上单调递增，则 f(x)0在区间（a,b）上恒成立； （2）若可导函数f(x)在（a,b）上单调递减，则 f(x)0在区间（a,b）上恒成立； （3）可导函数f(x)在区间（a,b）上为增函数是 f(x)0的必要不充分条件. 2.可导函数极值的理解 （1）函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；（2）对于可,导函数f(x)，“f(x)在x=x0处的导数f(x)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充

16、分条件； （3）注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点. 3.利用导数解决优化问题的步骤 （1）审题设未知数；（2）结合题意列出函数关系式；（3）确定函数的定义域；（4）在定义域内求极值、最值；（5）下结论.,强化训练： 一、选择题 1.函数f(x)=-x3+x2+tx+t在（-1，1）上是增函数，则t 的取值范围是 （ ） A.t5B.t5 C.t5 D.t5 解析 f(x)在（-1，1）上是增函数， f(x)=-3x2+2x+t, 在（-1，1）上f(x)0.t3x2-2x. 设函数g(x)=3x2-2x， 由于g

17、(x)的图象是对称轴为 开口向上的抛物 线，,故要使t3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立 tg(-1)，即t5. 故t的取值范围是t5.故选C. 答案 C 2.（2009天津理,4）设函数 则方程f(x)=0 （ ） A.在区间 (1,e)内均有实根 B.在区间 (1,e)内均无实根 C.在区间 内有实根，在区间(1,e)内无实根 D.在区间 内无实根,在区间(1,e)内有实根,解析 因为 令f(x)=0，则x=3 当x(0,3)时，f(x)0，f(x)在（0，3）上单 调递减 因为 因此f(x)在 内无零点. 又 因此f(x)在（1，e）内有零点. 答案 D,3. 已知函数f(x)的导数

18、f(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 （ ） A.-1，0B.-1，0） C.（-1，0）D.（-1，0 解析 结合二次函数图象知， 当a0或a-1时，在x=a处取得极小值， 当-1a0时，在x=a处取得极大值,故a(-1,0).,C,4.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是 （ ） A.（-3，0）（3，+） B.（-3，0）（0，3） C.（-，-3）（3，+） D.（-，-3）（0，3） 解析 设F（x）=f(x)g(x)，由题意 知F(x)是奇函数，所以F（x）

19、的图象 关于原点对称，由 f(x)g(x)+f(x)g(x)0知,F（x）0，即当x0时，F（x）是增 函数.又g（-3）=0，F（x） 的图象大体如图所示,F（x）0, 即f(x)g(x)0的范围为（-，-3） （0，3）. 答案 D,5.（2008广东文，9）设aR,若函数y=ex+ax, xR有大于零的极值点，则 ( ) A.a-1 C. D. 解析 y=ex+ax，y=ex+a. 当a0时,y不可能有极值点,故a0,即ln(-a)ln1,a-1.,D,二、填空题 6.（2009北京理，11）设f(x)是偶函数.若曲线 y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线的斜率为1，则该 曲线在点（

20、-1，f(-1)处的切线的斜率为 . 解析 由偶函数的图象和性质可知应为-1.,-1,7.(2009汕头模拟)已知函数 +1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是 . 解析 f(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f(x)=0,得 x2+2ax+a+2=0,=4a2-4(a+2)0 a2或a-1.,f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x,a2或a-1,8.（2009福建理，14）若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂 直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 解析 f(x)=5ax4+ ,x(0,+), 由题知5ax4+ =0在（0，+）上有解. 即a= 在（0，+）上有解. x(0,+

21、), (-,0). a(-,0).,(-,0),三、解答题 9.已知函数 (x0),其中a,bR. (1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为 y=3x+1,求函数f(x)的解析式; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)若对于任意的 不等式f(x)10在 上恒成立,求b的取值范围. 解 （1） 由导数的几何意义得 f(2)=3,于是a=-8. 由切点P（2，f（2）在直线y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9.,所以函数f(x)的解析式为 （2） 当a0时，显然f(x)0 (x0).这时f(x)在 （-,0）,(0,+)内是增函数. 当a0时，令f(x)=0，解得x= . 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在（-,