系统工程第四章.ppt

1、1,1. 数学模型建模程序,即，将现实世界中的原型概括形成数学模型的过程。 系统工程人员需综合考虑下图的四个环节才能构建出有实际价值的模型。,比较检验,2,变量类型,对模型起作用但是不属于模型描述范围的因素,模型所研究的因素,建模的原则,现实性。 充分立足于现实问题 简洁性。 变量选择不能过于繁琐，数学结构不宜过于复杂 适应性。 模型易于数学处理和计算。 强壮性。 模型对现实问题的变动不敏感,3,4,2. 权重有向图模型,权重有向图模型是常用建模工具。 有向图 权重有向图 邻接矩阵 可达矩阵,5,（1）能源需求权重有向图模型,1 能源供给 2 价格 3 能源需求 4 人口,有向边上数字代表起始

2、节点变化单位值对于相邻节点的影响,6,预测城市人口流动状况及结果。 5个节点分别代表5个城镇，节点i到节点j的权重为Pij（代表一年内i镇居民流向j镇的概率）。 任何城镇居民不是继续留在本镇就是流向其他城镇。,（2）人口转移模型概率模型,这类以概率为权重的有向图，其邻接矩阵成为传递矩阵。 此传递概率只和当前发生的状态有关，具有马尔可夫性。,7,8,3. 机理法,机理法是在研究系统运行机理的基础上提出假设，然后建构模型。 连锁信模型-手机短信、邮件病毒的扩散 1979年传至中国：每人发五封信，每个接信人要向前面第三级的人回信并夹送一元钱，看起来每人都是受惠者，实际上这种“链式反应”不用一年，每人

3、都会收到同样多的信，不会产生真正的受惠者。 到90年代被恶搞成诅咒式的玩意，要求你将它转寄给多少位亲朋好友，否则就会遭受难听的诅咒。 传销模型,9,（1）连锁信,张三，北京 李四，上海 王二，天津 张龙，深圳 赵虎，厦门 王朝，杭州,李四，上海 王二，天津 张龙，深圳 赵虎，厦门 王朝，杭州 马汉，南京,5份,10,K=0 y(0)=1 马汉 1元钱 K=1 y(1)=5y(0) 马汉的朋友 K=2 y(2)=5y(1) 马汉的朋友的朋友,y(6)=5y(5),1562.5元钱,y(k+1)=5y(k),通解,y(k)=y(0)5k,K=6,11,思考题：,The Da Vinci Code中

4、提到的Fibonacci数列应该如何建模？ Fibonacci数列为： 1，1，2，3，5，8，13,an=a(n-1)+a(n-2)（n=3,nN*）,12,（2）传销模型,传销的营销模式： 通过亲戚、朋友、邻居、同学等各种社会关系逐次把产品推销给消费者。,13,传销模型,传销对象经历的三个阶段： 潜在期：尚未成为被传销者，也不 会另行传销 传销期：加入传销网，并向周围人 行销。 脱离期：不再传销,14,基本假设,4类人员 潜在传销者（S）：尚未传销，但今后可能加入。 传销者（I）：已进入传销网，且继续向外传销。 脱离者（R）：已不再进行传销的人 非传销者（L）：现在未传销，将来也不会参加,

5、15,在人口固定（N）的某区域有： 各部分人员的数量会随时间而变化，数学模型可定量分析这些人员的变化过程,16,假定传销人数变化率正比于传销者和潜在传销者的接触机会。 其中 为接触率，S(t)I(t)表示这两部分人的接触频繁程度 假定非传销者L(t)是个常数。 假定脱离人数的变化率正比于I值。 其中 为脱离率,17,对其中的参数进行分析,18,食者-被食者模型 （Predator-Prey Model ）,有一座孤岛： 狐狸吃兔子 兔子吃草,19,“被食者食者”系统中， 若青草丰富，兔子大量繁殖； 兔子一多，狐狸易得食，狐狸量就增加，而狐狸数量增多，吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下

6、降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。,就这样，狐兔数目交替地增减，无休止地循环，遂形成生态的动态平衡. 我们来建立描述这种现象的数学模型,20,21,分析建模过程,第一步：设x(t),y(t)分别表示t时刻被食者和食者的数量.,如果各自单独生活，被食者的增长速率与当时的数量成正比，即,22,而食者由于没有被食对象，其数量减少的速率与当时的数量成正比，即,现在两者生活在一起，被食者有一部分遭食者消灭，于是（1）式中的a将减少，且减少的量与食者的数量成正比，所以（1）式应改为,类似地，食者有了被食对象，（2）式中的c也要减少，且减少的量与被食者的数量成正比，所以（2）式应改写为,由（3），（4

7、）式组成的方程组,称为VolterraLotka模型，其中 均为正数，初始条件为： 原点 与 点 是该系统的两个稳定点（或称奇点，即常数解在平面上表示的点） .,第二步：,分别取x=0和y=0,利用初始条件，可以得到方程组(5)的两组解：,与,25,4. 状态空间模型（数学模型）,实际工作中，人们常需要研究系统的动态品质，需要建立系统的动态数学模型 而状态空间模型就是以系统的状态为变量，描述动态系统行为的一种数学模型。 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统,状态与状态空间的概念,状态：表示系统运行的特征属性的量。系统的状态随时间变化的。 状态变量：足以完全描述系统运动行为的最小

8、变量组。,26,完全描述：如果给定了t=t0时刻这组变量值，和t=t0时输入的时间函数，那么，系统在t=t0的任何瞬间的行为就完全确定了。 最小变量组：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。 最大线性无关组,27,在外作用力F(t)已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。 如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。 物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余的。 可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧-阻尼器系统在某

9、一时刻的状态。,28,例：弹簧-阻尼器系统,状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下： 输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：,29,u1，u2是输入变量,弹簧阻尼器的状态方程,30,31,系统的状态空间描述,连续系统系统方程 离散系统系统方程,32,（1） 应用一,某电话公司第t年增加u(t)百万元新投资，0.75u(t)用于安装交换设备，0.25u(t)用于装设新的传输电缆，以增加长途通讯服务。 每年对每1元的交换设备的价值，公司要损失20分，对每1元价值的电缆，公司要收益15分，收益将用于下一年购买更多的交换设备。 试计算公司在第t年的总价值。,33,请用矩阵形式表示状态方程与输出方程。,34,（2）应用二：人口模型,目的：清晰的了解生育率、死亡率、迁移率等因素对人口系统的影响。 人口过程： 对特定时刻的某特定年龄的人口，涉及第一年龄的人口成长、系统外迁入人口、本年龄人口年龄增长进入下一年龄、迁出人口、死亡人口。,i-1,i,i+1,年,i-1,i,i+1,岁,成长,死亡 迁出,迁入,成长,人口模型,35,36,离散系统建模练习,企业人才系统：某企业基年有技