不等式选讲R.ppt

1、不等式选讲,算术-几何平均不等式,一、复习,（当且仅当 取“ ”）,（当且仅当 取“ ”）,二元基本不等式,二元基本不等式,二、新课,算术-几何平均不等式主要用于求最大值或最小值。,三、新课应用,例1、求以下解析式的最值。 若 、 且 ，求 的最小值； 若 、 且 ，求 的最小值； 若 、 且 ，求 的最大值； 若 、 且 ,求 的最大值。,练习： 求 的最小值；,若 ，求 的最小值；,若 ，求 的最小值；,若 ,求 的最大值；,若 ，求 的最大值；,若 ,求 的最大值。,例2、如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方

2、形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？,练习：P10 T13、14,解：设切去的正方形边长是x，盒子的容积为V，则：,当且仅当a-2x=4x，即 时，不等式取等号。,练习：P10 T7、9,例3、设a 、b、 c为不全相等的正数。 证： ,作业：P10 T10、11,解：由a 、b、 c为不全相等的正数。,补充：,1、若 ,且 ，则 的最小值是：,2、 ， 的最小值是：,3、 ， 恒成立，则 的取值范围是：,不等式选讲,绝对值不等式,定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|a|+|b| 当且仅当ab0时，等号成立。,这个不等式称为 绝对值三角不等式,证明:10. 当ab0时,20. 当ab0

3、时,综合10,20知定理成立.,定理1 如果a, b是实数，则|a+b|a|+|b| 当且仅当ab0时，等号成立。,推论2 如果a、b、c是实数, - 那么|a-c|a-b|+|b-c| - 当且仅当(a-b)(b-c) 0时,等号成立.,推论3 如果a、b是实数, -那么|a|-|b|a+b|a|+|b|,例1 已知0，|x-a|,|y-b|， 求证：|2x+3y-2a-3b|5.,证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5 所以 |2x+3y-2a-3b|5

4、,练习：课本P20第1题 .求证：(1)|a+b|+|a-b|2|a| (2)|a+b| -|a-b|2|b|,D,C,类型1：形如|x|a (a0) 不等式解法, 不等式|x|a的解集为x|-axa, 不等式|x|a的解集为x|xa ,绝对值不等式的解法,转化为类型1：,类型2.型如|f(x)|c,|f(x)|c(c0)不等式解法,定义法（根据绝对值的定义消绝对值符号）,然后再求x，得原不等式的解集,例1： 解下列不等式 (1) |3x-1|2 (2) |5x-6|6-x,变式1： |3x-1|-2 变式2： |3x-1|0 变式2： |3x-1|0,解答,推广1：型如 |f(x)|c, |

5、f(x)|c(cR)不等式解法,推广2：型如 |f(x)|g(x), |f(x)|g(x)不等式解法,定义法（根据绝对值的定义消绝对值符号）,试解下列不等式：,课堂练习一：,(4)|x-1 | 2(x-3),x5,类型3.型如|ax+b|+|cx+d|k(kR)不等式解法,例2： 解不等式|x-1|+|x+2|5,方法一：利用绝对值的几何意义，体现了 数型结合的思想。,解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2,所以原不等式的解为,解：当x1时，原不等式同解于,x 2,x-3,综合上述知不等式的解为,3当x-2时，原不等式同解于,2当-2x1时，原不等式同解于,方法二：利用|x-1|

6、=0，|x+2|=0的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解现了分类讨论的思想,例2： 解不等式|x-1|+|x+2|5,(x-1)+(x+2)-5 x1,-(x-1)+(x+2)-5 -2x1,-(x-1)-(x+2)-5 x-2,解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 0,令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则,由图象知不等式 的解为,方法三：通过构造函数，利用了函数的图象，体现了函数与方程的思想。,例2： 解不等式|x-1|+|x+2|5,法一：利用绝对值不等式的几何意义,法三：构造函数法,类型3.型如|ax+b|+|cx+d|k(k

7、R)不等式解法,法二、法三本质一致，都是利用定义消绝对值符号，不同之处在于在消绝对值符号后，法二直接解不等式，法三间接解不等式（已知函数的值域求定义域）,（零点分区间法）,3.不等式 有解的条件是( ),1. 解不等式|2x-4|-|3x+9|1,B,4.|2x+1 | |x+2 |,x|x1,B,例1： 解下列不等式 (1) |3x-1|2,例1： 解下列不等式 (2) |5x-6|6-x,返回,不等式选讲,放缩法证明不等式,放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的。,常见方法： 1、分式放缩； 2、利用已知结论放缩； 3、裂项放缩； 4、先放缩后求和。,1、分式放缩,一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大。,例1、若 ，证明：,练习1、若 ，证明：,2、利用已知结论放缩,例2、若 ，证明：,利用已知的公式或恒不等式，把欲证明不等式 变形后再放缩。（如 或 基本不等式）,3、裂项放缩,若不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解。,例3、已知 ，求证：,练习3：已知 ，求证：,4、先放缩后求和,将不等式中的全部项或部分项先放大或缩小，再利用数列的求和方法求和