高等数学二第二章多元函数积分学

1、21二重积分,回忆定积分.,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积.,则,如图,其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.,设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.,若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.,如图,一、例,1.求曲顶柱体的体积V.,(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z = f (x,

2、y),z = f (x,y),Di,Di,(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.,( i , i) Di .,小平顶柱体的高 = f ( i , i).,若记 i = Di的面积.,则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积,(iii)因此, 大曲顶柱体的体积,分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V.,也就是,(iv),其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.,如图,(1)平面薄板的质量 M.,当平面薄

3、板的质量是均匀分布时, 有, 平面薄板的质量 = 面密度面积.,若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M?,2. 非均匀分布物体的质量,用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度 (x, y) 0 连续. (x, y) D. 求该平面薄板的质量M.,(i)如图,Di,Di的面积记作 i .,Di,由于(x, y) 0 连续, 从而当Di很小时, (x, y) 在Di上的变化不大, 可近似看作(x, y)在Di上是不变的.,从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.,(ii

4、)即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作为Di 这一小片薄板的面密度.,从而,第 i 片薄板的质量 mi ( i , i) i,(iii)故, 平面薄板的质量,(iv),1.定义 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数.,将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, , n), 其面积记为 i.,(i, i) Di, 作积,f (i, i) i,二、二重积分的概念与性质,若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式,的极限存在且极限值都为I,则称f (x,y),在D上可积, 记为f (x,y) R(D),并称此极限值 I 为,f (x,y)在D

5、上的二重积分. 记作,即,其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式,注1. 定积分,二重积分,区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i).,可见, 二重积分是定积分的推广.,注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图),则除边界上区域外, Di 的面积i = xi yi,故也将二重积分写成,注3. 可以证明若f (x, y)在D上连续, 则f (x, y

6、)在D上可积,若f (x, y)在D上有界, 且在D内只有有限个不连续点, 或只在有限条曲线上不连续, 则f (x, y)可积.,2. 二重积分的性质.,设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在.,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,若在D上有f (x, y) g (x, y), 则,特别: (i) 若在D上f (x, y)0, 则,(ii),这是因为 | f (x, y)| f (x, y) | f (x, y) |,积分后即得.,性质5.,若在D上 m f (x, y) M, 则,设 f (x, y) C(D), 则(,)D, 使得,性质6.,性质7.,3. 二重积分的几何意义设 x,

7、 y 在 D上可积, 则,(i) 当z=f (x, y)0时,(ii) 当z= f (x, y)0时,(iii),= (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积),1. 直角坐标系下二重积分的计算.,由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,如图,若点x处截面面积为A(x),则体积,三、二重积分的计算,(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a, x=b及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x)围成.,如图,即, D: y1(x) y y2(x),a x b,称为x型区域.,特别情形是,A、B退缩成一点, E、F退缩成一点.,由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.,

8、如图.,过点x0作平面x= x0,截面是平面x= x0上的, 以z=f (x0, y)为曲边的曲边梯形.,由定积分的几何意义,从而,故,右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分(累次积分).,计算原则: 由里到外.,即先将x 看作常数, 以y 为积分变量, 求里层积分.,得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式, 再求外层积分(以x为积分变量).,注1. 公式,虽是在条件 f (x, y) 0下得到的, 但对一般的 f (x, y)都成立, 只须D是x型区域即可.,注2. 习惯上常将右端的二次积分记作,即,(2)类似, 若D: x1(y) x x2(y), c y d, 称为 y 型区域,则

9、二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分.,即,(3)若D既是 x型区域, 又是 y型区域.,比如,则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分.,等等,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.,此时,(4)若D的形状较复杂, 既不是 x型区域, 也不是 y型区域.,则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为x型, 或为 y型, 分块积.,如图,(5) 设D: y1(x) y y2(x), a x b, 为 x 型区域.,其中y2(x)为分段函数.,如图,则,由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式.,故应将D分成

10、D1, D2, 分块积分.,(6) 不论是先对 x 积分,还是先对 y 积分,里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式, 而外层积分的上、下限是点的坐标.,且上限下限.,称为从里到外、线线; 点点.,例1.,为确定累次积分的上、下限.,作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D.,则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.,解: 先画区域D的图形.,法1. 先对y积分.,里层积分的下限为x2, 上限为x.,由于该射线变化范围是0, 1.,因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即,法2. 先对 x 积分.,作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D.,则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2

11、. 即,故里层对 x 积分的下限为y, 上限为,而该射线的变化范围是0, 1.,故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1.,例2.,解: 先画D的图形.,先对 x 积分. 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知, x 从左方曲线y=x2即,右方曲线 y=x+2即 x=2 y. 而 y0, 1.,故,所以, 原式 =,问, 若先对 y 积分, 情形怎样?,例3. 求,解：由于,是“积不出”的，怎么办？,要改换积分次序.,先画积分区域D的图形.,由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1,画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1.,如图：,故 原式 =,由例2，例3知，选择适当的积分顺序

12、，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。,例4. 改换,解：写出D的表达式，,画 D 的图形,改为先对x再对y的积分,例5. 关于分块函数在D上的积分.,其中D：0 x 1, 0 y 1,解：积分区域如图,记 f (x, y) = | y x |,且区域D1: y x和D2: y x分处在直线y=x的上，下方.,故，原式 =,注：分块函数的积分要分块(区域)来积.,另外，带绝对值的函数是分块函数。,在将二重积分化为二次积分的公式,右边的二次积分不是两个定积分之积，,计算时必须由,里至外，这当然较繁琐.,但在某些情形下，可将右端,化为两个定

13、积分之积。,例6. 设D：a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)f2(y)可积，,则,比如，,只须要求里层积分,的被积函数f2(y)和,上、下限都与x无关即可。,关于利用对称性积分的问题,(1) 若D的图形关于x轴对称.,(i) 若f (x, y) = f (x, y),其中点(x, y) 与(x, y) 关于x轴对称，,即函数也关于x轴对称.,(ii) 若f (x, y) = f (x, y),(2) 若D的图形关于y轴对称.,(i) 若f ( x, y) = f ( x, y). 其中( x, y)是 (x, y)的关于y轴的对称点.,(ii) f ( x, y) = f(

14、 x, y)，则,(3) 一般，若D关于平面上某直线l对称.,对(x, y)D1，有关于l的对称点(x1, y1)D2.,若f (x, y)= f (x1, y1)，则,若f (x, y) = f (x1, y1).,例7. (1),易知,2. 二重积分的换元法,定理1. 设变换x=g(u, v), y= (u, v)时uov平面上的有界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足,若f (x, y)可积，则,(1) x=g(u, v), y=(u, v)C1(D*),3. 用极坐标变换计算二重积分,变换 x = rcos, y = rsin 称为极坐标变换.,其中 0 r +,

15、 0 2,(或 - ),D经极坐标变换后变成极坐标系下的区域D*.,因：,称为“曲边三角形”或“曲边扇形”,曲边的极坐标方程为r = r().,D的最小极角为，最大极角为.,此时，D* : 0 r r(), .,从而：,特别：,y,0,x,r = r(),称为“极点位于 D 的边界上”的情形。,(2) 若积分区域 D 如图,即D包含极点，,这相当于,在上图中让 =0，而增大2,D*:0 r r(), 0 2,(3)若积分区域D如图.,即：极点在D外，而D是由两个“曲边扇形”相减而成。,作以0为起点的射线过D，先遇到的曲边为r=r1()，后遇的曲边为r=r2(),最大，最小极角分别为, ,此时，,D*: r1() r r2(), ,例8. 求,其中D：x2+y2 1,解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用极坐标积分。,令x=rcos, y=rsin, 则,x2+y2 1的极坐标方程为r = 1.,由(2)