大学数学实验1__MATLAB操作基础.ppt

1、Matlab与数学实验,大学数学实验作业题要求,实验目的,认识数学建模 熟悉matlab软件的运行环境以及操作步骤； 熟悉MATLAB基本命令与操作；,Matlab 简介,一个由来：Matrix Laboratory 矩阵实验室。(美国The MathWorks 公司),两个组成：MATLAB内核及辅助工具箱。,三个基本功能：数值计算、符号计算和图形可视化.,四个特点： 1.语言简洁，效率高。运算符和库函数极其丰富；,2.编程能力强。既有结构控制语句，又面向对象；,3.图形功能强大。绘制，修改，图像处理 ，可视化；,4.功能强大且易于扩充的工具箱。功能性工具箱和学 科性工具箱。,1.1 MAT

2、LAB窗口环境,命令窗口 命令输入，显示结果,当前目录窗口 显示设置当前工作目录下的文件,工作空间窗口 储存变量与结果,命令历史窗口 记录运行过的命令,命令提示符 命令输入行,（1） 变量与赋值,1.变量名区分字母大小写，如ltems, items, itEms及ITEMS都是不同的变量，长度不超过63个. 2.变量名必须以字母开头，之后可以是任意字母、数字或下划线，如ex12，ex_12. 标点符号在MATLAB中具有特殊含义，所以变量名中不允许使用标点符号. MATLAB语言将所识别的一切变量视为局部变量 ，若要将变量定义为全局变量，则应当对变量进行说明，即在该变量前加关键字global.

3、,1.2 基本数学运算,1.2.1 变量与数据操作,（2）特殊变量表,（3）赋值语句,1.变量=表达式 2.表达式,例1.2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。在MATLAB命令窗口输入命令：,x=1+3i; y=3-sqrt(2); z=(cos(abs(x+y)-sin(60*pi/180)/(x+abs(y),注1：在运算式中，MATLAB通常不需要考虑空格； 注2：多条命令可以放在一行中，它们之间需要用符号隔开：逗号告诉MATLAB显示结果，而分号则禁止结果显示。 注3：复数可以表示为：a=10-9i，复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。 注4：从工作空间窗口可以进入变量编辑器，从

4、而对变量进行修改。 注5：利用 MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是 .mat。 MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。,(4) MATLAB常用数学函数,MATLAB 提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。,Matlab中常见数学函数,1基本数学函数： abs(x)：求绝对值 sqrt(x)：开平方 real(z)：复数z的实部 imag(z)：复数z的虚部 round(x)：四舍五入至最近整数 fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数 r

5、ats(x)：将实数x化为分数表示 rem(x,y)：求x除以y的余数 gcd(x,y)：整数x和y的最大公因数 lcm(x,y)：整数x和y的最小公倍数 exp(x)：自然指数 log(x)：以e为底的对数，即自然对数 log2(x)：以2为底的对数 log10(x)：以10为底的对数 sign(x)：符号函数 (Signum function).,2三角函数： sin(x)：正弦函数 cos(x)：余弦函数 tan(x)：正切函数 cot(x )：余切函数 asin(x)：反正弦函数 acos(x)：反余弦函数 atan(x)：反正切函数 acot(x)：反余切函数,矩阵,数学上，一个mn

6、的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字符素构成的2行3列的矩阵：,将一些元素排列成若干行，每行放上相同数量的元素，就是一个矩阵。横向的元素组称为“行”，纵向称为“列”。,1.2.2 MATLAB矩阵,1. 矩阵的建立,（1）直接输入法, A=1 2 3；4 5 6；7 8 9 A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9,注1：输入矩阵时要以“ ”为其标识符号，所有元素必须都在括号内； 注2： 矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔； 注3：矩阵大小不需要预先定义； 注4：矩阵元素可以是运算表达式或小矩阵； 注

7、5：若“ ”中无元素表示空矩阵.,多个元素的操作：冒号的特殊用法,例： x=3:2:1,（2）利用冒号和函数, x=1:0.5:4 % 格式是 初始值a：步长b：终止值c x= Columns through 7 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4,函数linspace（a，b，n）产生第一个元素为a，最后一个元素为b总数为n的行向量.,练习：生成一个在2到18之间的等差为2的数列。,命令 X=a:b:c,2. 矩阵的截取,（1） 矩阵单个元素引用, A(2,3) %下标引用 ans = 6 A(6) ans = 8,矩阵元素的引用,多个元素的引用：冒号的特殊用法,例： x=3:2:1,L

8、xy, China Jiliang Universty,矩阵多个元素的引用,例： x(1:3),矩阵元素的引用, A(3,1:3),A(i:j, m:n) 表示由矩阵 A 的第 i 到第 j 行和第 m 到第 n 列交叉线上的元素组成的子矩阵。,可利用冒号提取矩阵 的整行或整列。,例： A(1, :), A(:, 1:2), A(:, :),Lxy, China Jiliang Universty,矩阵操作,3适用于向量（1 n）矩阵的常用函数： min(x): 向量x的元素的最小值 max(x): 向量x的元素的最大值 mean(x): 向量x的元素的平均值 median(x): 向量x的元

9、素的中位数 std(x): 向量x的元素的标准差 diff(x): 向量x的相邻元素的差 sort(x): 对向量x的元素进行排序 find(x):寻找 向量x的非零元素的序号 length(x): 向量x的元素个数 norm(x): 向量x的欧氏长度 sum(x): 向量x的元素总和 prod(x): 向量x的元素总乘积 cumsum(x): 向量x的累计元素总和 cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积 dot(x, y): 向量x和y的内积,例1.2.2 随机抽取10 名学生的高等数学课程成绩，并统计他们中的最高分、最低分以及他们的平均成绩。,math=88,90,77,69,92

10、,80,74,66,95,85; %产生10维向量 mathaver=sum(math)/10 %计算平均成绩 h=max(math) %求出最高分 l=min(math) %求出最低分,练习：1.将上述成绩排序，并最出中位数 2.将向量代入前面的向量函数中运行， 观察结果,（2）利用冒号和函数, a=1:0.5:4 % 格式是 初始值：步长：终止值 a= Columns through 7 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4,函数linspace（a，b，n）产生第一个元素为a，最后一个元素为b总数为n的行向量.,（3）矩阵合并, B=1 1 1 B = 1 1 1, C=A;B C =

11、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1, D=A,B D = 1 2 3 1 4 5 6 1 7 8 9 1,（2） 使用冒号 可以用冒号表示“直到”以及“所有行”，“所有列”，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。, B=A (1:2, : ) B= 1 2 3 4 5 6, C=A(1,3,2:end) C = 2 3 8 9,（3） 外部文件读入,File-Import Data ；m文件；load函数,3 特殊矩阵,例1.2.5 分别建立33、32的零矩阵。 命令：zeros(3)，zeros(3,2),例1.2.6 建

12、立随机矩阵： 在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。 命令： x=20+(50-20)*rand(5),Lxy, China Jiliang Universty,矩阵操作,查看矩阵的大小：size,size(A) 列出矩阵 A 的行数和列数,size(A,1) 返回矩阵 A 的行数,size(A,2) 返回矩阵 A 的列数,2.3 MATLAB运算,1. 基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有： (加)、(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。, B=10+A B = 11 12 13 14 15 16 17

13、18 19,2. 点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。 点运算符有: 点乘： .* 点除： ./ . 点幂： . 两矩阵进行点运算是指它们 的对应元素进行相关运算， 要求两矩阵的维数相同。, A.2 ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81,3.运算符：,例1.2-10 产生5个数，要求它们是 (10,90)区间的随机整数，然后判断这些数是否能被3整除。,生成5阶随机方阵A，输入命令： A=fix(80*rand(1,5)+10),(2) 判断A的元素是否可以被3整除： P=rem(A,3),其中，rem(A,3)

14、是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。,例1.2-10 产生5个数，要求它们是 (10,90)区间的随机整数，然后判断这些数是否能被3整除。,生成5阶随机方阵A，输入命令： A=fix(80*rand(1,5)+10),(2) 判断A的元素是否可以被3整除： P=rem(A,3)=0,其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于(=)比较的结果矩阵。,例1.2-10 产生5阶随机方阵 A，其元素为 10,90区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。,生成5阶随机方阵A，输入命令： A=fix(90-10+1)*rand(5)+

15、10),(2) 判断A的元素是否可以被3整除： P=rem(A,3)=0,其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于(=)比较的结果矩阵。,例1.2-11 建立矩阵A，然后找出大于4的元素的位置。 建立矩阵A，输入命令： A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0,(2) 找出大于4的元素的位置： find(A4) %返回索引值,上机练习： 1.运行P19页 例13-17 2.随机生成-1到1之间的6个数，求出它的平均值，最大值； 3.随机生成元素在0到1之间的一个4 4矩阵，并且分别提取显示它的： 第3行元素；

16、第2列元素； 第3行第3个元素与第4个元素；,矩阵基本运算,矩阵的加减：对应分量进行运算,要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数,矩阵的普通乘法,要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则,Lxy, China Jiliang Universty,矩阵基本运算,矩阵的除法：/、 右除和左除,若 A 可逆方阵，则,AB A 的逆左乘 B inv(A)*B,B/A A 的逆右乘 B B*inv(A),矩阵函数,MATLAB提供了许多矩阵函数. 正是因为拥有了为数众多的、完善的矩阵函数，才使得MATLAB具有了强大的功能。,det 计算矩阵的行列式的值 inv 求矩阵的逆阵 rank 求矩阵的秩

17、 rref 用初等变换将矩阵化成行阶梯形 null(A,r) 给出齐次线性方程组Ax=0 的基础解系 fliplr 矩阵左右翻转 flipud 矩阵上下翻转 diag 取得矩阵对角线元素,下面是几个常用的矩阵函数:,在命令窗口运行帮助命令 ：help elmat ,可以列举出大量的矩阵函数.,3.2 矩阵函数的应用,例31 设矩阵,解： A=3 -4 0; -1 5 2; 4 1 -6 rank (A) %求矩阵的秩 inv (A) %求逆矩阵,求A的秩和逆矩阵。,3.3 解线性方程组,求线性方程组Ax=B的解，其中：,解法1 利用矩阵除法： X=AB,解法2 利用求逆矩阵函数 inv：X1=

18、inv(A)*B,比较：解法1比解法2更简便， 解法1 的算法优于解法2 ， 解法1可用于一般矩阵，而解法2只能用于非奇异的方阵 因此，只需运用解法1 .,例32,3.3.1 求线性方程组的唯一解,3.3.2 求线性方程组的通解,求线性方程组Ax=B的通解。,例33 设,在命令窗口输入以下命令： (注意：这里给出的 A不 是方阵） A=1 1 -1 -1;2 -5 3 2;7 -7 3 1; B=5; -4; 7; format ratx1=AB %求得非齐次方程组Ax=B的一个特解x1Y=null(A,r) %求得齐次方程组Ax=0 的基础解系Y,则方程组Ax=B的通解为: x=x1+k1*

19、Y(:,1)+k2*Y(:,2),x1 = 3 2 0 0,Y = 2/7 3/7 5/7 4/7 1 0 0 1,输出结果：,解法1： 利用除法 和 null 函数,在命令窗口输入以下命令：,format ratA=1 1 -1 -1;2 -5 3 2;7 -7 3 1; B=5; -4; 7;%用初等行变换将增广矩阵 A B 化成最简行阶梯形T T=rref(A B),于是可得方程组Ax=B的通解为:,解法2：利用 rref 函数,T = 1 0 -2/7 -3/7 3 0 1 -5/7 -4/7 2 0 0 0 0 0,输出结果：,小 结,1. 矩阵函数 利用矩阵函数求矩阵的行列式、秩和

20、逆 求方程组的唯一解 4. 求方程组的通解,2.4 矩阵分析,2.4.1 对角阵与三角阵,1. 对角阵 只有对角线上有非 0 元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为 1 的对角矩阵称为单位矩阵。,V=123V=123diag(V,3)ans=000100000020000003000000000000000000,B=123;456B=123456,diag(B)ans=15,diag(B,2)ans=3,diag(B,1)ans=26,提取矩阵的对角线元素 命令：diag(A),diag(A,k) 构造对角阵V为向量 命令：diag(V),dia

21、g(V,k)，, diag(1:3)*A %将A的每一行增大行数倍数 ans = 1 2 3 8 10 12 21 24 27,2. 三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为 0 的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。,triu(A) ：求A上三角阵 triu(A,k):求矩阵A的第k条对角线以上的元素 tril(A):求A下三角阵 tril(A,k)：求矩阵A的第k条对角线以下的元素,a 求矩阵a的转置 det(a) 求矩阵a的行列式 b=eig(a) 求矩阵a的特征值,构成向量b v,d=eig(a) a的特征值构成对角

22、阵d，特征向量构成v的列向量 inv(a)或a (-1) 求矩阵a的逆矩阵 rank(a) 求矩阵a的秩 trace(a) 求矩阵a的迹（对角线元素之和） rref(a) 求矩阵a的行最简形 null(A,r) 求系数矩阵为A的齐次方程的基础解系 pinv(A)*b 求非齐次方程的特解 rot90(A,k) 将矩阵A旋转90的k倍 fliplr(A) 将A左右翻转 flipud(A) 将A上下翻转,3.其它命令,例2.3-4 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 Ax=b 其解为： x=A-1b 命令为： a=2,-3,1;8,3,2;45,1,-9; b=4;2;17; x=inv(a)*b,例2

23、.3-5 用求特征值的方法解方程： 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %友矩阵A x1=eig(A) %求A的特征值 x2=roots(p) %直接求多项式p的零点,2.5 字符串,在MATLAB中，字符串是用单撇号()括起来的字符序列。 MATLAB 将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符，其标识方法和数值向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。,字符串是以ASCII码形式存储的。abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。 相反，char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。,例2.3-6 建立一个字符串向量，然后对该向量做如下处理： (1) 取