高考理科数学直线与圆锥曲线的位置关系复习资料.ppt

1、1,第八章 圆锥曲线方程,直线与圆锥曲线的位置关系,第 讲,5,（第二课时）,2,题型3 圆锥曲线中的定值问题,1. 如图，倾斜角为 的直线经过抛物线y2=8x 的焦点F，且与抛物线交 于A、B两点.,3,(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； (2)若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x 轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值， 并求此定值. 解：(1)设抛物线的标准方程为y2=2px， 则2p=8，从而p=4. 因此焦点F( ,0)的坐标为(2，0). 又准线方程的一般式为x=- . 从而所求准线l的方程为x=-2.,4,(2)解法1:如图,作ACl, BDl,垂足分别为C、

2、D， 则由抛物线的定义知 |FA|=|AC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xA、xB， 则 解得,5,类似地,有|FB|=4-|FB|cos,解得 记直线m与AB的交点为E， 则 所以 故 为定值.,6,解法2：设A(xA,yA)，B(xB,yB)， 直线AB的斜率为k=tan， 则直线AB的方程为y=k(x-2). 将上式代入y2=8x, 得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0， 故 记直线m与AB的交点为E(xE,yE)， 则 故直线m的方程为,7,令y=0,得P的横坐标 故 从而 为定值. 点评：探求有关定值问题，一是可以转 化为求值问题来解，二是可以考虑特殊 情况时的

3、解.,8,如图,已知点 F(1,0),直线l:x=-1，P为平面 上的动点，过P作直线l的垂 线,垂足为Q,且 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点， 交直线l于点M,已知 试推断1+2是否为定值，并说明理由.,9,解:(1)设点P(x,y), 则Q(1，y). 由 得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y), 化简y2=4x. 所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x. (2)设直线AB的方程为x=my+1(m0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(-1，- ).,10,11,12,2. 已知直线x-2y+2=0 经过椭圆C: (ab0

4、)的左顶点A和上顶 点D，椭圆C的右顶点为B， 点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线 AS,BS与直线l:x= 分别交于M,N 两点. (1)求椭圆的方程； (2)求线段MN的长度的最小值；,题型4 圆锥曲线中的最值与范围问题,13,(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否 存在这样的点T，使得TSB的面积为 ？若 存在，确定点T的个数；若不存在，说明理由. 解：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(-2,0)， 上顶点为D(0,1),所以a=2,b=1, 故椭圆C的方程为 (2)直线AS的斜率k显然存在，且k0， 故可设直线AS的方程为y=k(x+2), 从而,14,由 得(1+4k2)

5、x2+16k2x+16k2-4=0, 设S(x1,y1),则 得 从而 即 又B(2,0)，故直线BS的方程为 由 得 所以 故,15,又k0，所以 当且仅当 即 时等号成立. 所以 时，线段MN的长度取最小值 . (3)由(2)可知，当MN取最小值时， , 此时BS的方程为x+y-2=0, 所以 要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等 于 ，只须T到直线BS的距离等于 ，,16,所以T在平行于BS且与BS距离等于 的直线l上. 设直线l:x+y+t=0, 则由 解得 或 当 时，由 得5x2-12x+5=0. 由于=440,故直线l与椭圆C有两个不同的交点; 当 时，由 得5x2-20 x

6、+21=0.,17,由于=-200,故直线l与椭圆C没有交点. 综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得TSB的面积等于 . 点评：最值与范围问题一般涉及到参变量问题，应先把所求的问题转化为某参数的代数式(或函数式)，然后利用求最值的方法求解.注意最值与特殊情况时的取值之间的联系.,18,19,20,21,1. 过椭圆 (ab0)的右焦点F，作斜率 为1的直线l交椭圆于A、B两点，O为原点. 已知 与向量a=(3，-1)共线. (1)求椭圆的离心率； (2)设M为椭圆上任意一点,且 (,R),证明：2+2为定值. 解：(1)设点F(c,0),则直线l的方程为y=x-c

7、. 代入椭圆方程,整理得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.,22,设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 因为 与a(3，-1)共线， 所以3(y1+y2)+(x1+x2)=0， 即3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0. 所以 于是 解得a2=3b2. 所以 (2)因为a2=3b2,所以椭圆方程可化为x2+3y2=3b2.,23,由题设 =(x1+x2，y1+y2). 因为点M在椭圆上， 所以(x1+x2)2+3(y1+y2)2=3b2， 即2(x12+3y12)+2(x22+3y22)+ 2(x1x2+3y1y2)=3b2. 因为A、B两点在椭圆上， 所以x

8、12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2. 又x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2,24,所以23b2+23b2=3b2, 即2+2=1,为定值.,25,2.学校科技小组在计 算机上模拟航天器变轨返 回实验，设计方案如右图. 航天器运行(按顺时针方向) 的轨迹方程为 变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线) 后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0， )为 顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)， 观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.,26,(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2)试问：航天器在

9、x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 解: (1)设抛物线方程为 易得 所以曲线的方程为 (2)设变轨点为C(x，y).根据题意可知 ，,27,易得4y2-7y-36=0， 解得y=4或y=- (不合题意,舍去),所以y=4, 所以得x=6或x=-6(不合题意，舍去). 所以点C的坐标为(6,4),则|AC|= ,|BC|=4. 所以，当观测点A、B测得离航天器的距离 分别为 、时，应向航天器发出变轨指令.,28,1. 对于圆锥曲线中的定点、定值问题,一般利用方程思想转化为求值问题来解决. 2. 对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不

10、等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.,29,3. 对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 4. 圆锥曲线实际应用问题大都带有一定的实际生活背景，利用圆锥曲线的定义、方程及其几何性质，将实际问题与之相互联系，灵活转化是解决此类问题的关键.,30,第八章 圆锥曲线方程,双曲线,第 讲,2,（第二课时）,31,1. 过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，求FP

11、FQ的值.,题型3 双曲线背景下的求值问题,32,解：如右图所示，分 别过点P、Q作PM、QN垂 直于双曲线x2-y2=4的右准 线l:x= ,垂足分别为M、N. 则由双曲线的第二定义可得 即得 又因为 即,33,所以 同理可得 所以,34,点评：双曲线上一点与焦点的连线段称为一条焦半径，焦半径、点准距(点到相应准线的距离)、离心率三者之间的关系式是我们解决有关双曲线距离的重要关系式.,35,(2010北京卷)已知双曲线 - =1的离心率为2，焦点与椭圆 + =1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_,36,解：由题意得，椭圆 + =1的焦点的横坐标为 4. 由e=2，得a=2，

12、所以b=2 . 故双曲线的焦点坐标为(4, 0), 渐近线方程为y= x，即 xy=0.,37,2. 已知双曲线C的方程为 离心率e= ，顶点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线C的方程； (2)P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若 , ,2，求AOB面积的取值范围. 解法1：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为 ,题型4 在双曲线背景下求参变量的取值范围,38,所以 即 由 得 所以双曲线C的方程为 (2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=2x. 设A(m,2m),B(-n,2n),m0,n0. 由 得P点

13、的坐标为,39,将P点的坐标代入 化简得 设AOB=2，因为tan( -)=2, 所以 又|OA|=5m,|OB|=5n, 所以 记 由S()=0，得=1,又 当=1时，AOB的面积取得最小值2，,40,当= 时,AOB的面积取得最大值 . 所以AOB面积的取值范围是2, . 解法2：(1)同解法1. (2)设直线AB的方程为y=kx+m. 由题意知|k|0. 由 得A点的坐标为 由 得B点的坐标为,41,由 得P点的坐标为 将P点坐标代入 得 设Q为直线AB与y轴的交点, 则Q点的坐标为(0,m). 以下同解法1.,42,点评：求参数或式子的取值范围问题,其策略是先根据条件选设主参数,然后利用已知条件和相关性质(如双曲线上的点的横坐标、离心率的范围)求解相应的不等式或函数式,即可解决所求问题.,43,44,45,已知点F1、F2分别为双曲线 的左、右焦点，点P为双曲线右支上任意一点，试推断对任意给定的点P，在x轴上是否存在两个不同的点M，使|PM|2=|PF1|PF2|成立？ 解：设点P(x0,y0)(x04),M(m,0),则,题型 双曲线有关性质的探究与证明,46,且 所以 由 得 即m2-2mx0+7=0.(*) 因为=4x02-28416-28=360， 所以方程(*)恒有两个不等实根. 故对任意一个确定的点P， 在x轴上总存在两个不