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文档简介

1、,用迭代法可逐步精确方程 根的近似值，但必须要找到 的等价方程 ,如果 选得不合适,不仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代格式发散。能否找到一种迭代方法, 结构简单,收敛速度快。这就是本节要介绍的牛顿迭代法。,2.3 牛顿迭代法,计算方法,计算方法,取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:,重复上述过程 ,作为第一次近似值,一、牛顿迭代法,基本思想：将非线性方程f(x)=0 线性化,Newton 迭代公式,计算方法,二、牛顿法的几何意义,x 1,x 2,牛顿法也称为切线法,计算方法,牛顿迭代法（单击播放）,计算方法,（局部收敛性定理）设 f (x)C2a, b，若 x* 为 f

2、 (x) 在a, b上的根,且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初始值 ，Newton 法产生的序列 xk 收敛到 x*，且满足,至少平方收敛,三、牛顿法的收敛性与收敛速度,计算方法,在x*的附近收敛,证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法,计算方法,由Taylor 展开：,令k ，由 f (x*) 0，即可得结论。,计算方法,有根,根唯一,全局收敛性定理(定理3.3.1)：设 f (x)C2a, b，若 （1）f (a) f (b) 0； 则由Newton法产生的序列 xk 单调地收敛到 f (x)=0 在 a, b 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的。,计算方法,证明：以,为例证明,将f(x*)在 xk 处作Taylor展开,计算方法,对迭代公式两边取极限，得,说明数列xk有下界,故xk单调递减, 从而xk收敛.令,？,计算方法,例1 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.,解 Newton迭代格式为,计算方法,例2,解：设,取,则由Ne

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