28.4垂径定理

1、第二十八章 圆,28.4 垂径定理,九年级数学上 新课标 冀教,学 习 新 知,赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位),在自己课前准备的纸片上作图:,1.任意作一条弦AB.,2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.,3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?,4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.,5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明

2、过程吗?,如图所示,在O中,CD为直径,AB为弦,且CDAB,垂足为E.求证AE=BE,证明:如图所示,连接OA,OB.,在OAB中, OA=OB,OEAB,AE=BE,AOE=BOE.,AOC=180-AOE,BOC=180-BOE,AOC=BOC.,垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.,几何语言:,在O中,CD为直径, CDAB,AE=BE,垂径定理的推论,如图所示,在O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.,【思考】 (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?,与 (或 与 )相等吗?说明你的理由.,(2)若 = (或 = ),能判断CD与AB垂直吗?A

3、E与BE相等吗?说明你的理由.,解:(1)CDAB, (或 ).,理由是:连接OA,OB,如图所示,则OAB是等腰三角形,AE=BE,CDAB.,由垂径定理可得,(2)CDAB,AE=BE.理由是：, ,AOD=BOD,又OA=OB,OE=OE,AEOBEO,AEO=BEO,AE=BE,CDAB.,追加思考: (1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.,(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么?,(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?,在O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CDAB, 中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.,(教材164

4、页例)如图所示,已知CD为O的直径,AB为弦,且ABCD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.,思考: 1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?,(连接半径,构造直角三角形),2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?,(根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半,另两边的长正好相差ED长),3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?,(设未知数,用勾股定理列方程求解),解:如图所示,连接OA.,设O的半径为r.,CD为O的直径, ABCD,AE=BE.,AB=8,AE=BE=4.,在RtOAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.

5、解得r=5,从而2r=10.,所以直径CD的长为10.,赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位),解:如图所示,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与 相交于点C,连接OA.根据垂径定理知D为AB的中点,C为 的中点,CD就是拱高.,由题设可知,AB=37.4 m,CD=7.2 m,所以AD= AB= 37.4=18.7(m),OD=O

6、C-CD=R-7.2(m).,在RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R27.9(m). 因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.,【思考】 1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线? 2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?,知识拓展,1.由垂径定理可以得到以下结论: (1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)垂直且平分一条弦的弦是直径. (4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.,综上所述,可以知道在过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的劣弧,

7、平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.,2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.,3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.,4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).,5.圆心到弦的距离叫做弦心距.,检测反馈,1.如图所示,AB是O的直径,CD是弦, CDAB于点E,则下列结论不一定成立的是 () A.COE=DOE B.CE=DE C.OE=BE D.,解析:由垂径定理可知

8、B,D均成立;由OCEODE可得A也成立.不一定成立的是OE=BE.故选C.,C,2.如图所示,已知O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是() A.6B.5C.4D.3,解析:过点O作OCAB于C,OC过点O,AC=BC= AB=12,在RtAOC中,由勾股定理,得OC= =5.故选B.,B,3.如图所示,O的直径为10,弦AB的长为6,P是AB上一动点,则线段OP的长的取值范围是.,解析:当弦与OP垂直时,OP的值最小,连接OA,由勾股定理可得OP= =4;当点P与点A或点B重合时,OP的值最大,此时OP为O的半径5.故填4OP5.,4OP5,4.如图所示,AB是O的弦,半径OCAB于点D. (1)若AB=8 cm,OC=5 cm,求CD的长; (2)若OC=5 cm,OD=3 cm,求AB的长; (3)若AB=8 cm,CD=2 cm,求O的半径.,解:连接OA,则AO=OC.,OCAB,ODA=90.,(1)OCAB,AD= AB=4 cm, 在RtOAD中,OA=5 cm,OD= = =3(cm),CD=OC-OD=2 cm.,(2)在RtOAD中,OA=5 c