高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 理 新人教版

1、9.6双曲线,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.双曲线定义 平面内与两个定点f1，f2的 等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做. 集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当 时，p点的轨迹是双曲线； (2)当 时，p点的轨迹是两条射线； (3)当 时，p点不存在.,知识梳理,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2a|f1f2|,2a|f1f2|,2a|f1f2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yr,xr，ya或ya,坐标轴,原点,

2、(1，),2a,2b,a2b2,巧设双曲线方程,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.() (2)方程 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.(),1.(教材改编)若双曲线 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为,考点自测,答案,解析,由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.,2.等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y216x的准线交于a，b两点，|ab|4 ，则c的实轴长为,答案,解析,抛物线y216x的准线为x4，,a2，2a4.c的实轴长为4.,

3、3.(2015安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是,答案,解析,由双曲线性质知a、b项双曲线焦点在x轴上，不合题意； c、d项双曲线焦点均在y轴上，但d项渐近线为y x，只有c符合，故选c.,答案,解析,答案,解析,双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，,题型分类深度剖析,例1已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时 与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_.,题型一双曲线的定义及标准方程,命题点1利用定义求轨迹方程,答 案,解析,几何画板展示,如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b. 根据两圆外切的条件， 得|mc1|ac1|m

4、a|， |mc2|bc2|mb|， 因为|ma|mb|， 所以|mc1|ac1|mc2|bc2|， 即|mc2|mc1|bc2|ac1|2， 所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于|c1c2|6.,又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)， 其中a1，c3，则b28.,命题点2利用待定系数法求双曲线方程,解答,设双曲线的标准方程为,b6，c10，a8.,(2)焦距为26，且经过点m(0,12)；,解答,双曲线经过点m(0,12)，m(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,设双曲线

5、方程为mx2ny21(mn0).,解答,命题点3利用定义解决焦点三角形问题,例3已知f1，f2为双曲线c：x2y22的左，右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cos f1pf2_.,答案,解析,由双曲线的定义有|pf1|pf2|,引申探究,1.本例中将条件“|pf1|2|pf2|”改为“f1pf260”，则f1pf2的面积是多少？,解答,不妨设点p在双曲线的右支上， 则|pf1|pf2|2a2 ，,在f1pf2中，由余弦定理，得,不妨设点p在双曲线的右支上，则|pf1|pf2|2a2 ，,解答,所以在f1pf2中，有|pf1|2|pf2|2|f1f2|2， 即|pf1|2|pf2|2

6、16， 所以|pf1|pf2|4，,思维升华,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立与|pf1|pf2|的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.,跟踪训练1 (1)已知f1，f2为双曲线 的左，右焦点，p(3,1)

7、为双曲线内一点，点a在双曲线上，则|ap|af2|的最小值为,答案,解析,几何画板展示,由题意知，|ap|af2|ap|af1|2a， 要求|ap|af2|的最小值，只需求|ap|af1|的最小值， 当a，p，f1三点共线时，取得最小值，,答案,解析,不妨设p为双曲线右支上一点，|pf1|r1，|pf2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，,题型二双曲线的几何性质,答案,解析,a.mn且e1e21 b.mn且e1e21 c.mn且e1e21 d.mn且e1e21,由题意可得m21n21，即m2n22， 又m0，n0，故mn.,(2)(2015山东)在平面直角坐标系xoy中，双曲线c1： (

8、a0，b0)的渐近线与抛物线c2：x22py(p0)交于点o，a，b.若oab的垂心为c2的焦点，则c1的离心率为_.,答案,解析,oab的垂心为f，afob，kafkob1，,思维升华,答案,解析,题型三直线与双曲线的综合问题,例5(2016兰州模拟)已知椭圆c1的方程为 y21，双曲线c2的左，右焦点分别是c1的左，右顶点，而c2的左，右顶点分别是c1的左，右焦点. (1)求双曲线c2的方程；,解答,则a2413，c24， 再由a2b2c2，得b21.,解答,由直线l与双曲线c2交于不同的两点，得,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,思维升华,(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：

9、将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.,跟踪训练3若双曲线e： y21(a0)的离心率等于 ，直线ykx1与双曲线e的右支交于a，b两点. (1)求k的取值范围；,解答,故双曲线e的方程为x2y21. 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,得(1k2)x22kx20.(*) 直线与双曲线右支交于a，b两点，,解析,整理得28k455k2250，k2 或k2 ，,x1x24 ，y1y2k(x

10、1x2)28.,点c是双曲线上一点.,直线与圆锥曲线的交点,现场纠错系列12,(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件. (2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.,错解展示,现场纠错,纠错心得,典例已知双曲线x2 1，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a，b两点，且点p是线段ab的中点？,返回,解设点a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，且线段ab的中点为(x0，y0)， 若直线l的斜率不存在，显然不符合题意. 设经过点p的直线l的方程为y1k(x1)， 即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20).,

11、当k2时，方程可化为2x24x30. 162480，方程没有实数解. 不能作一条直线l与双曲线交于a，b两点，且点p(1,1)是线段ab的中点.,返回,课时作业,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故选a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

12、13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由题意易知点f的坐标为(c,0)，a(c， )，b(c， )，e(a,0)，,abe是锐角三角形，,整理得3e22ee4，e(e33e31)1， e(1,2)，故选b.,1,2,3,4,5,6,7,

13、8,9,10,11,12,13,7.(2016北京)已知双曲线 (a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为( ，0)，则a_；b_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,由2xy0，得y2x，,解得a1，b2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016浙江)设双曲线x2 1的左，右焦点分别为f1，f2，若点p在双曲线上，且f1pf2为锐角三角形，则|pf1|pf2|的取值范围是_.,答案,解析,如图，由已知可得a1，b ，c2，从而|f1f2|4，由对称性不妨设p在右支上， 设|pf2|m， 则|pf1|m2a

14、m2， 由于pf1f2为锐角三角形，,解得1 m3，又|pf1|pf2|2m2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.已知双曲线 (a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|4|pf2|，则此双曲线的离心率e的最大值 为_.,答案,解析,要求e的最大值，即求cosf1pf2的最小值，,由定义，知|pf1|pf2|2a. 又|pf1|4|pf2|，,在pf1f2中，由余弦定理，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

15、0,11,12,13,10.(2015课标全国)已知f是双曲线c：x2 1的右焦点，p是c的左支上一点，a(0,6 ).当apf的周长最小时，该三角形的面积为_.,答案,解析,设左焦点为f1，|pf|pf1|2a2， |pf|2|pf1|，apf的周长为|af|ap|pf|af|ap|2|pf1|，apf周长最小即为|ap|pf1|最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1，f2，且|f1f2|2 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37. (1)求这两曲线方程；,1,2,3,4,5,6,7

16、,8,9,10,11,12,13,解答,由已知c ，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b， 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，,解得a7，m3.b6，n2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若p为这两曲线的一个交点，求cosf1pf2的值.,解答,不妨设f1，f2分别为左，右焦点，p是第一象限的一个交点， 则|pf1|pf2|14，|pf1|pf2|6， |pf1|10，|pf2|4.又|f1f2|2 ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016湖北部分重点中学

17、第一次联考)在面积为9的abc中， 现建立以a点为坐标原点，以bac的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示 . (1)求ab，ac所在直线的方程；,解答,设cax，则由tanbactan 2,得tan 2，ac所在直线方程为y2x， ab所在直线方程为y2x.,(2)求以ab，ac所在直线为渐近线且过点d的双曲线的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设所求双曲线的方程为4x2y2(0)， c(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，x20).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2x1x29，代入，,1,2,3,4,5,6

18、,7,8,9,10,11,12,13,(3)过d分别作ab，ac所在直线的垂线df，de(e，f为垂足)，求 的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,c2，c2a2b2， 4a23a2，a21，b23，,(2)设经过焦点f2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线c的右支交于不同的两点a，b时，求实数m的取值范围，并证明ab中点m在曲线3(x1)2y23上；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,l：m(x2)y0，,得(3m2)x24m2x4m230. 由0，得4m4(3m2)(4m23)0， 12m293m20，即m210恒成立. 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,m在曲线3(x1)2y23上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,