4-1 泊松过程.ppt

1、随机过程典型随机过程-泊松过程,基本概念 (齐次)泊松过程 (齐次)泊松过程的分布特征 (齐次)泊松过程的统计特征 (齐次)泊松分布的相关问题 非齐次泊松过程 复合泊松过程,主要内容,基本概念 计数过程 独立增量过程 泊松过程的特点,主要内容,在 (0, t) 内出现事件 A 的总数所组成的过程N(t), t0 称为 计数过程。 N(t)0，N(0)=0 (s,t) 内事件A发生次数表示为： N(t)-N(s) 事件发生的时间是随机的,计数过程,定 义,Sn,Sn-1,Tn,0,t) 内发生的事件数,第n次事件的发生时刻,第 n 次事件与前次事件间的间隔,独立增量过程,独立增量过程： 随机过程

2、N(t)在任意不相交的时间间隔内的变化量是相互统计独立的； 独立增量过程具有马尔可夫特性 平稳增量过程（或齐次增量过程）：在时间间隔 (t, t+s) 内的增量N(t+s)-N(t) 仅与 s 有关而与 t 无关；,定 义,定 义,泊松过程,若计数过程N(t)满足下列假设： 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0 N(t)为独立增量过程 N(t)为平稳增量过程 在(t，t+t)内出现一个事件的概率为 t + o(t), 在(t，t+t)内出现事件二次以上事件的概率为o(t) 即 PN(t+ t)-N(t) 2=o(t) 则称该过程为泊松过程 N(t) 0,参数 称为跳跃强度,定 义,泊松过程的

3、分布特征,即： 令t0： 则：,平稳增量性,独立增量性,微跳跃强度,泊松过程的分布特征,即： 取极限： 则： 数学归纳法：,泊松过程的分布特征、统计特征,分布率 母函数 均值： 二阶矩： 方差：,泊松过程的统计特征,相关函数： 设 t1t2，则： 类似地，若t2t1 ： 综上有：,相关问题(1)：首次发生时间 S1 的概率问题,PS1t = PN(t) = 0 = e-t 分布函数 CDF： FS1(t) = PS1t = 1 - e-t 概率密度函数 PDF： fS1(t) = FS1(t) = e-t 另一种思路：,相关问题(2) ：第 n 次发生时间 Sn 的PDF,故 Sn(t)的 P

4、DF 为：,相关问题(3) ：各次事件间的时间间隔 Tn,Tn = Sn Sn-1； T1= S1 0 故： 各次时间间隔的分布相同，和首次发生时间S1的PDF相同,相关问题(4) ：后验时间分布,在（0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的到达时间 S （S0,t)）的概率分布. 故： 已知一段时间内出现一个事件，事件发生时刻在此时间段内均匀分布,相关问题(4+) ：后验时间分布,（0，t2）内有 n 个事件的条件下，（0，t 1） 内有 k 个事件的概率： 可看成(0,t)内 n 个独立均匀分布的随机变量随机选择区间的结果, 在(0,t)内呈二项式分布,相关问题(5) ：两过程比快,独立

5、泊松过程 N1(t)，N2(t)强度分别是1 、2 求 N1(t) 先于 N2(t) 发生首次事件的概率。 设 x，y 分别是两个过程出现第一次事件的时刻,相关问题(6) ：两过程比快,题设同前。问：在N2(t)第一次发生之前N1(t)发生了 k 次的概率,泊松过程,若计数过程N(t)满足下列假设： 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0 N(t)为独立增量过程 N(t)为平稳增量过程 在(t，t+t)内出现一个事件的概率为 t + o(t), 在(t，t+t)内出现事件二次以上事件的概率为o(t) 即 PN(t+ t)-N(t) 2=o(t) 则称该过程为泊松过程 N(t) 0,参数 称为跳

6、跃强度,定 义,分布率 母函数 均值： 二阶矩： 方差： 相关函数：,泊松过程的分布特征、统计特征,泊松过程的相关问题,(1)：首次发生时间 S1 的概率密度函数： fS1(t) = e-t (2)：第 n 次发生时间 Sn 的概率密度函数： ()：各次事件间的时间间隔 Tn的概率密度函数： ()： （0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的 到达时间 S （S0,t)）的概率密度函数：,泊松过程的相关问题,(1)：首次发生时间 S1 的概率密度函数： fS1(t) = e-t (2)：第 n 次发生时间 Sn 的概率密度函数： ()：各次事件间的时间间隔 Tn的概率密度函数： ()： （0

7、,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的 到达时间 S （S0,t)）的概率密度函数：,事件时间间隔负指数分布vs泊松分布,泊松过程各次事件间的时间间隔 Tn服从负指数分布 若一个计数过程，其各次事件的时间间隔服从参数为 的负指数分布， ， 是 的n次卷积,则该计数过程服从参数为 的泊松过程,事件时间间隔负指数分布vs泊松分布,泊松过程各次事件间的时间间隔 Tn服从负指数分布 若一个计数过程，其各次事件的时间间隔服从参数为 的负指数分布， 参数 为计数过程的跳跃强度,则该计数过程服从参数为 的泊松过程,相关问题(7)：泊松过程的和,如果 N1(t) 和 N2(t) 是参数分别为 1 和2的相互

8、独立的泊松过程，则他们的和 N1(t)+N2(t)的分布特征？ N1(t)的母函数： N2(t)的母函数： N1(t)+N1(t)的母函数： N1(t)+N2(t) 是参数为 1+2 的泊松过程,相关问题(8)：泊松过程的差,如果 N1(t) 和 N2(t) 是参数分别为 1 和2的相互的独立泊松过程，则他们的差 N1(t) - N2(t)是否为泊松过程？,I|n|是n阶修正的 贝塞尔函数,非齐次泊松过程,若独立增量计数过程 N(t),t 0 满足下列假设： N(0)=0 N(t)为独立增量过程； PN(t+t)-N(t) 2=o(t) PN(t+t)-N(t) =1= (t)t+o(t) 则

9、称它为非齐次泊松过程 类似齐次泊松过程概率分布： 将 t 置换为 非齐次泊松过程的概率分布为：,定 义,非齐次泊松过程举例：北大游客数分析,游客到达率如图。若不相交叠的时间段内顾客到达数是统计独立的，问在上午8:309:30间无游客到达北大的概率是多少？在这段时间内到达北大的游客数学期望是多少？ m(8:30,9:30) =10 平均到达游客数： m(8:30,9:30) =10,例,解,复合泊松过程,设有泊松过程 N(t),t 0 和一族独立同分布 随机变量Yn，n=1，2，3，且 N(t) 和Yn也是相互统计独立的。则随机过程： 称为 复合泊松过程 移民到某地区的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即 2；每户人口可能是14的随机变量；各户人口数独立，且与移民户数无关，则一段时间里的移民人数是一个复合泊松过程,定 义,例,复合泊松过程的统计特征,利用母函数性质，对于 ，若： Yn 独立同分布，对应于母函数 Y() 而 N 与各 Y相互 独立，且母函数为 N(s) 则 X 的母函数为 Xs = NY(s) 符合泊松过程的特征函数： 均值：,复合泊松过程举例,移民户数是2的泊松过程，与每户人口数独立 每户的人口数概率为 1/6，1/3, 1/3, 1/6 求：在五周内移民的人口数