第六章 弹性体的振动.ppt

1、第六章 弹性体振动,6.1引言,前面各章在讨论振动问题时采用的都是集中参数模型，它只有有限多个自由度，且运动规律由常微分方程来确定。事实上，它只是现实问题中的一类力学模型。客观现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续系统或分布参数系统)，它的物理参数是分布型的，具有无限多个自由度，且运动规律由偏微分方程来确定,由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。 在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无限多个； 主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加权正交性； 在线性振动

2、问题中，叠加原理以及建立在这一原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率响应法等同样适用于弹性体振动分析。,在考察实际振动问题时，究竟该采用那一类力学模型，得根据具体对象作具体处理。例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。 当考察振动体内弹性波的传播问题时，就得采用弹性体模型。,讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足以下假设条件： 1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克定律。 通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。,6.2 一维连续系统振动弦振动,从有限多自由度模型到无限多自由度模型

3、 连续系统,张力为T的弦振动多自由度模型,根据牛顿第二定律，列出质点横向振动的微分方程为,假定作微小振动，因此,考虑到Dxi=xi+1xili在微振动中保持不变。进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1 ，即弦中张力可近似看做常量T、并且有,在弦的两端有y0yn+10。,写成矩阵形式，有,将上式两端向除以Dxi，得,随着质点数n的增加。质点间的距离Dxi越来越小，弦上各质点的位移yi(t)将趋于连续函数y(x,t)。同时,分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上单位长度上的载荷,于是方程(624)演化为一阶偏微分方程,其边界条件,可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似确定

4、系统在外激扰力作用的响应，这种做法在实际问题中常常用到。 若把弦作为连续系统，精确地确定系统的响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。,弦的振动微分方程及其自由振动,直接就连续体来推导弦横向振动的微分方程。如图 在弦作微振动 假设下，有,考虑到微元段在 水平方向的平衡， 弦中张力可近似看成是常量T,微元段的运动微分方程为,与方程(6.2.5)完全相同,讨沦无阻尼自由振动的情形。此时 p(x，t)0，于是程(6.2.5)可写成,称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播速度。要求给出系统的边界条件和初始条件,方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种是波动解，另一种是振动解。 波动解将弦的运动表示

5、为 即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进波的叠加。 振动解则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模式分布,两种解从不同的角度描述了弦的运动，各有其特点。 波动解能形象直观地描述波动过程，给出任何时划清晰的波形，但求解比较复杂； 振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运动叠加而成,对特定动力分析过程，选择什么形式的解要视实际问题的需要来定。这既取决于扰动源的性质，又取决于所考虑物体的相对尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。 在一般机械系统中，直接进行振动分析更为简单可行。 下面寻求方程（6.2.6) 的振动解。,观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现同步振动，即在运

6、动中，弦的各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置，而整个弦的振动形态不随时间而变化。 用数学语言来说，描述弦振动的函数y(x,t)可以分解为空间函数和时间函数的乘积，即,其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到 上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两边都等于同一常数。设这一常数为a，有,只有当a为负数时，才能从上述第一个方程中确定振动运动。所以，取 于是，上述方程改为,方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是 其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条件(6

7、. 2.7)，得 于是有,而由条件(6.2.15)可得 上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值bi 所以系统的各阶固有频率为：,与其相应的特征函数，亦称振型函数为 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为,弦的自由振动可以表示为各阶主振动的叠加，即有 其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。将初始条件(6.2.8)代入上式，有,三角函数族具有正交性，即 由此可得,由以上讨论可见，张紧弦的自由振动除了基频(最低频率p1)振动外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动亦称谐波振动。,6.3 导致一维波动方程的其它振动系统,比较典型的有： 杆的纵向振动 轴的扭转振动,以u(x，t)表示杆上距

8、原点x处在t时刻的纵向位移。在杆上取微元段dx，它的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二定律，它的运动方程为,将它代入式(6.3.1)并化简，得,可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变量法,将：,按上类似的方式可得,其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边界条件确定。 典型的边界条件有以下几种：,(1)固定端 该处纵向位移为零，即有 (2)自由端 该处轴向内力为零，即有 (3)弹性支承 设杆的右端为弹性支承(如图(a)，则此处轴向内力等于弹性力，即,(4)惯性载荷 设杆的右端附集中质量块(图(b)，则此处杆的轴向内力等于质量块的惯性力，即,轴的扭转振动

9、长为l的等截面直园轴。设轴单位体积的质量为r，圆截面对其中心的极惯性矩为Ip，材料剪切弹性模量为G。,假定轴的横截面在扭转振动中保持为平面作整体转动。以q (x, t)表示轴上x截面处在t时刻相对左端面的扭转角。 为推导轴扭转振动的微分方程，从其中截取一微元段如上图。列出运动微分方程为 其中T为轴上x截面处的扭矩。由材料力学知 ，代入式(6.3.8)，整理得,其中 。可见轴的扭转振动微分方程仍为一维波动方程。 常见的边界条件有以下几种： (1)固定端 该处转角为零，即有,(2)自由端 该处扭矩为零，即 (3)弹性支承 若轴的右端通过刚度为Kt的扭簧与固定点相连，则有 (4)惯性载荷 若轴的右端

10、附有一圆盘，则有,上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量,6.4 梁的弯曲振动,粱弯曲振动的运动方程 考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动。假定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；还假定梁的长度与截面高度之比大于10。根据材料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动惯量的影响，这种梁称做欧拉贝努利(Euler-Bernoulli)梁。于是，梁上各点的运动只需用梁轴线的横向位移表示,设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均为常数，建立如上图所示的坐标系。,在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t，此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受力情况。微元段沿

11、y方向的运动方程为 忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点的矩之和应为零，即,略去二阶微量，有 由材料力学知，弯矩与挠曲线的关系为 将(6.4.2)和( 6.4.3)代入(6.4.1)中，得,上式就是梁弯曲振动的运动微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振动，其运动微分方程为 或写成 其中,粱的自由振动,粱弯曲振动的运动微分方程(6.4.6)是一个四阶偏微分方程。为求其振动解，仍采用分离变量法，即假定方程(6.4.6)的解为 将(6.4.7)代入方程(6.4.6)中，得,要使仅依赖于t的左端与仅依赖于x的右端相等，两者应等于同一常数。取这一常数为 ，于是有 方程(6.4.9)的通解为,方程(6.4.10)是一个四阶常系数线性微分方程，它的特征方程是 其特征值为 所以，方程(6.4.10)的通解为,或表示为 特征值b及振型函数由梁的边界条件来确定。对于梁的弯曲振动，基本的边界条件有以下几种： (1)固支端 固支端的挠度和转角都为零，即,(2)铰支端 铰支端的挠度与弯矩都为零，即 (3)自由端 自由端的弯矩与剪力都为零，即,还有其它一些边界条件，如图所示梁端具有弹性支承或附有