高一数学上学期期末复习 专题05 直线方程、圆与方程导学案

1、第五讲 直线方程、圆与方程一、基础知识整合1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；范围：直线的倾斜角的取值范围是0，).(2)直线的斜率定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜

2、率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解

3、，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2 (r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F

4、0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)drM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.1.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d， 由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，

5、r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210三、热点题型展示类型一直线的倾斜角与斜率【例1】直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_.解析如图，kAP1，kBP，直线l的斜率k(，1，).答案 (，1，)【迁移探究1】 若将题(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取

6、值范围为.【迁移探究2】 将题(2)中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.解如图：直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知直线l的倾斜角的范围为0，45135，180).名师点睛：直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0).类型二直线方程的求法【例1】 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，1

7、0)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4).即x3y40或x3y40.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3，4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy105k0.由点线距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.名师点睛：1.直线的倾斜角和斜率的关系

8、：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：009090900不存在k02.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.易错防范1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3

9、.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.类型三两直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A.1 B.2 C.0或2 D.1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.解析(1)若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有，解得a1或2.(2)因为l1l2，所以k1k21.即(1)1，解得a2.答案(1)D(2)2名师点睛：(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜

10、率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.类型四两直线的交点与距离问题【例1】 (1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.(2)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_.解析(1)法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).而直线方程ykx2k1可变形为y1

11、k(x2)，表示这是一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1，4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案(1)(2)x3y50或x1

12、名师点睛：1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.易错防范1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式. 类型五圆的方程【例1】 (1)过点A(4，1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方

13、程为_.(2)已知圆C经过P(2，4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为_.解析(1)法一由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立，解得所以圆心坐标为(3，0)，半径r，所以圆C的方程为(x3)2y22.法二设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故又1，解得a3，b0，r，故所求圆的方程为(x3)2y22.(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0. 设x1，x2是方程的两根，由|x1

14、x2|6，得D24F36，由，解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.答案(1)(x3)2y22(2)x2y22x4y80或x2y26x8y0名师点睛：1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.易错防范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要

15、指明轨迹表示什么曲线.类型六直线与圆的位置关系【例1】直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A.(，2) B.(，3)C. D.解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时有 圆心到直线的距离d1，解得m(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在 第一象限内有两个不同的交点，则1m.答案 D名师点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动

16、直线问题.类型七圆与圆的位置关系【例1】已知两圆x2y22x6y10，x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，(1)当两圆外切时，由，得m2510.(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以5，解得m2510.(3)由(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.故两圆的公共弦的长为22.名

17、师点睛：1.解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2d2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.易错防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正

18、确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.五、强化训练提高1.直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A.30 B.60 C.120 D.150解析直线的斜率为ktan ，又因为0180，所以60.答案B2.已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则直线l的方程是()A.xy20 B.xy20C.xy30 D.xy30解析圆x2(y3)24的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.答案D3.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析直线的斜率k，1k0，则倾斜角的范围是.

19、答案B4.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率为k2，则k1k2，且k1k21.故选C.答案C5.过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A.19x9y0 B.9x19y0C.19x3y0 D.3x19y0解析法一由得则所求直线方程为：yxx，即3x19y0.法二设直线方程为x3y4(2xy5)0，即(12)x(3)y450，又直线过点(0，0)，所以(12)0(3)0450，解得，故所求直线方程为3x19y0.答案D6.已知点A(1，1)，B(1，1)，则以

20、线段AB为直径的圆的方程是()A.x2y22 B.x2y2C.x2y21 D.x2y24解析AB的中点坐标为(0，0)，|AB|2，圆的方程为x2y22.答案A7.若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A.7 B. C.14 D.17解析直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m，故选B.答案B8.已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.2 B.4 C.6 D.8解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1，1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，故r2d24，即2a24，所以a4，故选B.答案B9.从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()A.x2y40 B