第二节 函数的微分法.ppt

1、第二节函数的微分法,一、导数的四则运算,二、复合函数的微分法,第三章导数与微分,定理 1设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，,在 x 处也可导，,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);,一、导数的四则运算,且,则它们的和、差、积与商,证上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个,因为,u (x + x) - u(x) = u，,即,u (x + x) = u(x) + u，,同理有,v (x + x) = v(x) + v .,y = u(x)v(x)，,令,则,y = u(x + x) v(x + x) -

2、 u(x)v(x),= u(x) + u v(x) + v - u(x)v(x),= u(x)v + v(x)u + u v .,所以,推论 1(cu(x) = cu(x) (c 为常数).,推论 2,解根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)，,(5cos x) = 5(cos x)，,(cos x) = - sin x，,(ex) = ex，,(1) = 0，,故,f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ,= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1),= 12x3 - ex - 5sin x .,f (0) = (12x3 - ex - 5s

3、in x)|x=0 = - 1,又(x4) = 4x3，,例 1设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).,例 2设 y = xlnx ，,求 y .,解根据乘法公式，有,y = (xlnx),= x (lnx) + (x)lnx,解根据除法公式，有,例 4 设 f (x) = tan x，,求 f (x).,即,同理可得,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,解,例 5设 y = sec x，,求 y .,解根据推论 2，有,即,同理可得,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) =

4、 - csc x cot x .,另外可求得,(以后补证),二、复合函数的微分法,定理 2设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，,则复合函数 y = f ( (x) 也可导.,且,或,或,即,证设变量 x 有增量 x，,由于 u 可导，,相应地变量 u 有增量 u，,从而 y 有增量 y.,推论设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x) 也可导，,且,例 6设 y = (2x + 1)5，求 y .,解把 2x + 1 看成中间变量 u，,y = u5，u = 2x + 1,复合而成，,所以,将 y = (2x +

5、1)5看成是,由于,例 7设 y = sin2 x，求 y .,解这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利用乘法的导数公式，,将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.,而,所以,这里，,我们用复合函数求导法.,解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，,所以,例 9设 y = etan x，求 y .,复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.,求 y .,解将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.,这样可以直接写出下式,例 10,例 12设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).,解,解这个复合函数有三个复合步骤,把这些中间变量都记在脑子中,例 15,求 y .,解,解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.,例 17设 y = sin(xln x)，,求 y .,解先用复合函数求导公式， 再用乘法公式,y = cos(xln x) (xln x),= cos(xln x) (x (ln x) + x ln x ),= (1 + ln x)cos(x ln x) .,例 19,解先用复合函数求导公式，,再用加法求导公式，,然后又会遇到复合函数 的求导.,例 20设 y = sh x，,求 y