高三数学 导数的运算性质教案同步教案 新人教A版

1、高 三 数 学（第6讲）一、 本讲进度2 3 导数2 4 导数的运算性质课本第59页至65页二、 本讲主要内容1、 导数及导函数的定义；2、 导数的运算性质及运用。三、 学习指导1、 导数的定义：（1） 增量的概念已知函数y=f (x)的图象是曲线C，P（x0，y0）,Q（x1，x2）是曲线C上的两点，当自变量x从一个值x0变为另一个值x1时，相对应的函数由y0=f(x0)变到y1=f(x1)，则称：差x1-x0为自变量的增量，用x表示，即：x=x1-x0差y1-y2为函数的增量，用y表示，即： y=y1-y0，或y=f(x1)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0) x，y分别是自变量x，因

2、变量y在x0处的改变量，它的值可正可负，但不能为零，x，y是整体符号，不能把与x或y分开。（2） 导数的定义 函数的平均变化率：称为函数的平均变化率 导数的概念如果x0时，的极限存在，则称该极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数（又叫变化率）符号：，即： 由导数定义可知，函数y=f(x)在x=x0时导数存在，必须使得y=f(x)在x=x0处附近有定义。函数y=f(x)并不能在每一点都存在导数，只有在x0时，的极限存在，才能说y=f(x)在x=x0处有导数。 导数的概念如果函数y=f(x)在开区间（a，b）内的每点处都有导数，此时对于每一个x（a，b），都应看一个确定的导数f(x)，从而构成

3、了一个新的函数f(x)，称这个函数f(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，记作y，即： f(x)的导数与函数y=f(x)在x=x0处的导数的关系：当x0（a，b）时，函数y=f(x)在x0处的导数就是函数y=f(x)在开区间（a，b）上的导数f(x)在x0处的函数值，即。因此函数y=f(x)在x0处的导数也记作f(x0) 求函数y=f(x)的导数的一般步骤首先求函数改变量：y=f(x+x)-f(x)其次求平均变化率再次求极限，（3） 导数的几何意义函数y=f(x)在P（x0，y0）的导数为y=f(x)对应的曲线C在该点的斜率，即： 当曲线C在点x0处切线的倾斜角为时，y=f(x

4、)在点x0处导数不存在（x=0），不能用求导方法求切线斜率，但切线方程仍然存在（x=x0）。2、 基本初等函数的导数利用导数的定义，很容易得到常数函数与幂函数的导数。 C=0（C为常数） ，实际上nR亦成立特例，3、 导数的运算性质如果f(x)，g(x)有导数，那么： 即有限个函数的和或差的导数，等于这个有限个函数的导数的和或差；常数与函数积的导数，等于常数乘函数的导数。由此得多项式函数导数 4、导数是一种特殊的函数极限，是函数的一个局部性质，若函数y=f(x)在x=x0处导数存在，则称函数y=f(x)在x=x0处可导，否则称为不可导，导数的概念体现了运动变化，有限代替无限及数形结合的思想。四

5、、 典型例题例1、 求函数的导数解题思路分析：先化简再利用导数的运算性质 例2、 求曲线y=x3-3x上的切线平行于x轴的点的坐标解题思路分析：利用导数求出切线的斜率 切线平行于x轴 其斜率为0 令3x2-3=0得x=1当x=1时，y=-2当x=-1时，y=-2 所求点的坐标为（-1，2），（1，2）例3、 函数f(x)=2x3+3x-5，求f(x)，(f(x)，f（2）,（f(2)）解题思路分析：直接利用导数的运算性质 f(x)=(2x3+3x-5)=(2x3)+(3x)-5=6x2+3 (f(x)=(6x2+3)=(6x2)+3=12x f(2)=622+3=27 f(2)=17是一个常数

6、 (f(2)=0例4、 求下列函数的导数 (1)y=(x+1)(x-1)；（2）y=(x2+1)2 解题思路分析：（1） y=x2-1y=(x2-1)=(x2)-1=2x（2） y=x4+2x2+1y=(x4+2x2+1)=（x4）+(2x2)+1=4x3+4x例5、 自变量x取哪些值时，抛物线y=x2与曲线y=x3的切线平行？解题思路分析：设它们在点x0处的切线平行 (x2)=2x，(x3)=3x2 2x0=3x02 x0=0，或x0= 当x=0或x=时，抛物线y=x2与y=x3的切线平行五、 同步练习（一） 选择题1、 y=(x-1)2的导数是：A、2(x-1) B、(x-1)2 C、-2

7、 D、2(1-x)2、 函数在x=2处的导数是：A、 B、 C、 D、3、 设函数f(x)在点x0处有导数，且f(x0)0，则当|x|很小时，f(x0+x)A、f(x0) B、f(x0)x C、y D、f(x0)+f(x0)x4、 设函数f(x)在x=x0处有导数，且=1，则f(x0)=A、1 B、0 C、2 D、5、 曲线在点（1，）处切线的倾斜角是A、1 B、 C、 D、（二） 填空题6、 已知函数f(x)=4(2x-1)2，则f(x)=_。7、 已知函数f(x)=3x(x-1)，则f(1)=_。8、 曲线y=x3+x2+2在点P（-1，2）处的切线方程是_。9、 曲线y=2x-x3上一点

8、P（1，1，）处切线的倾斜角是_。10、抛物线y=ax2+bx+c在点P（x0，y0）的切线过原点，则a，b，c应满足_。 11、设曲线，则过点P（1，1）的切线方程是_。（三） 解答题12、求下列函数导数：（1） y=2x5-4x2；（2）y=(1+2x2)2；（3）y=x2(2x-1)；（4）y=(x-1)(x-2)(x-3)。13、已知曲线y=2x3+x-3的切线与y=7x平行，求切点坐标。14、已知直线l过原点且与曲线y=x3-3x2+2x相切，求直线l方程。15、在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离S=27t-0.45t2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车，刹车后又运行了多少米？六、 参考答案 （一）选择题1、A 2、D 3、D 4、D 5、B （二）填空题6、16(2x-1) 7