高三数学 典型课例 余弦定理教学设计

1、侑弦定理(第一课)侑弦定理教育分析一、教学指南图二、教育目标1 .通过实践和探索，用数量积证明侑弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形测量问题中的作用。2 .从方程的角度了解侑弦定理的作用和适用范围，掌握在实践运算中运用侑弦定理解决两种基本的解三角形问题。3 .结合三角函数用校正机理解斜三角形的近似校正问题。4 .在方程思想的指导下，通过提高理解三角形问题的运算能力的三角函数、侑弦定理、矢量的数量积等知识之间的关系，理解事物之间的普遍联系和辩证法统一。三、教育的重大难点教学重点：侑弦定理的发现、证明过程及其基本应用。教育难点：理解侑弦定理的作用和适用范围。突破的关键：将侑弦定

2、理的3个式看作由3个方程式组成的方程式群。教学设计一、温故引出新特例可疑1、正弦定理是三角形边与角的等量关系。 正弦定理的内容是什么？ 能用语言文字、数学语言记述吗？ 用什么方法可以证明？正弦定理：一个三角形的各边与其对边的正弦比相等，即：(在此为三角形外切圆的直径)。说明：正弦定理在同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，比例系数表示存在相同的正数，即正数。2 .用正弦定理可以解决什么样的三角形问题？由此，“已知的两角及其一边可以求出其他边。 ”“已知的两边及其一边的对角可以求出其他的角。 ”等解三角形的问题。3、思考：如图，中，已知，求。本问题是“知道三角形的两边及它们的夹角，求出第三边。

3、”解三角形的问题。 本问题可以用正弦定理解吗？困难：因为角度未知，所以很难找到。二、类比地探索合理演绎(1)类比探究三角形的两边和它们的夹角决定后，第三条边也是一定的值，也就是说，角的两边根据角的变化而变化。一定，变化的时候，可以认为是函数。当时，为了方便起见，考虑到有关的函数，(锁的定理)记作。变化的时候，如何变化？ 让我们考虑两个极端的情况当时那是当时那是我们比较了三种情况的不同当时那是当时，当时，原则含有相同点：不同点：的系数不同你觉得和的系数之间有什么样的对应关系呢？的双曲馀弦值。那么，得到角为3个特殊角时的公式。 在感官上，这个公式满足任意三角形吗？上述公式应该满足任意三角形，但我们

4、应该给予严格的证明。(2)合理演绎同学们思考，证明恒等式通常有什么思维方法？这样的构造在哪里见过？证明：三、完善知识分析的热升华(一)完善知识(1)侑弦定理：那么：证明书(第一形式)的双曲馀弦值。(2)语言表达：三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这些个两边及其夹角的侑弦乘积的两倍。(3)变形：(第2形态)的双曲馀弦值。(2)解析热升华(1)佟弦定理与正弦定理一样，是任何三角形角之间存在的共同定理，佟弦定理是链定理的推进，链定理是佟弦定理的特例(2)式中包含4个量，从式的观点出发，已知其中的3个量，总是可以求出第4个量。(3)利用已知量和未知量的性质，侑弦定理可以解决有关三角形的哪些问题

5、，利用侑弦定理和推论，可以解决以下两种三角形的问题已知三边求三角形的三个角已知两边及其夹角为三角形的其他边和角。这两类问题有解时只有一个解，从量化的角度描述了“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形联合的定理，使之成为可修正的公式。(4)从侑弦定理和侑弦函数的性质可知，在一个三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则第三边相对的角为垂直角的2边的平方和大于3边的平方，3边相对的角为锐角的2边的平方和小于3边的平方四、例题示范转移运用示范例题例1 :中，求出该三角形的最大角。解：，这个三角形的最大角是。所以这个三角形的最大角是。补申：三角形的三条边的长度，如何判断是锐角三角形、垂直角三角形还是

6、钝角三角形例2 :中，求。解：根据侑弦定理；又我是。思考：可以用平面几何知识来解决本问题吗？分析：如图所示，在，做过。是。例3 :如图所示，有两条直线相交的角。 关于升交点，甲和乙两人从点向云同步各方向出发，速度各，时后两人有多远？分析：经过时，甲到达点，乙到达点，问题转化为中，自己知道，成为要求的长度。解：经过后，甲到达点，乙到达点，根据侑弦定理，知道。a :点后两个人约有距离。例4 :下图是公元前约年古希腊数学家实验为了制作无理数使用的图形。 尝试校正图中线段的长度和大小(长度正确，角度正确)。解：那么，因为所以那么因为所以想一想：也可以用其他方法求出线段的长度和大小吗？(2)、迁移运用在

7、1 .中，三角形是(C )a .垂直角三角形b .锐角三角形、c .二全等三角形d .全等三角形那么，再见。 （）3、那么，我们知道判断的类型。 (钝角三角形)4 .平行四边形的两个相邻边的长度各自的夹角为45，求出该平行四边形的两个对折角线的长度及其面积五、总结反省开展(1)总结总结1 .侑弦定理是任何三角形角之间存在的共同规则，侑弦定理是拉链定理的推进，拉链定理是侑弦定理的特例。 侑弦定理能证明闭锁定理吗？2 .侑弦定理有两个基本应用：一是已知的三边求三角，二是已知的两边和他们的夹角求第三边。3 .侑弦定理和正弦定理是同一三角形约束条件的不同表现形式，应该本质上一致。(2)反省展开1 .侑弦定理和正弦定理反映了相同三角形的边、角之间的测量关系，在本质上是一致的。 你能证明这两个定理是等价的吗？2 .总结求解三角形的方法：三角形的角中有哪三个量是已知的，有唯一的解或多解或无解，分别用什么方法？六、作业一、P51练习第一、二题二、练习题2-1 A组第三、四题。七、资料延展一、