高三数学一轮 10.3 二项式定理导学案 理 北师大版

1、学案65二项式定理导学目标：1.可以用修正数原理证明二项式定理.2.用二项式定理解决有关二项展开式的简单问题自主整理1 .关于二项式定理的概念(1)二项式定理： (a b ) n=can can-1 b 1can-kbkCBN (n-n * )这个公式叫做_。二项展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式项数：二项展开式有_项。二项式系数：二项展开式中的各项系数称为二项式系数一般项：二项展开式中的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _称为二项展开式的一般项，用Tk 1表示，一般项是展开式的第k 1项2 .二项式系数的性质(1)对称性：开头的最后两端的两个二项式系数相等。(2)增减

2、性和最大值： n为双位数时，中间的二项式系数取最大值。 在n为奇数时，中间的二元二项式系数为：(3)各二项式的系数和： CCCc=_ _ _、CCCc=_ .自我检测在(2011福建) (1 2x)5的展开式中，x2的系数等于()A.80 B.40 C.20 D.10(2011 ) (4x-2-x )6(x-r )展开式中的常数项为()A.-20 B.-15 C.15 D.203.(x-y)10的展开式中的x6y4项的系数为()A.840 B.-840 C.210 D.-2104.(2010四川) 6展开式的第四项是：5.(2011山东) (x-)6如果展开式的常数项为60，则常数a的值为6.

3、(2011烟台期末)如果n是正双位数，且在n的展开式中，第4项的二项式系数最大，则第4项的系数为_ . (用数字回答)点一二项展开式与通式的应用初探在例1n的展开式中，已知第6项是常数项.(1)求n；(2)求包含x 2的项的系数(3)求展开式中的所有有理项变量迁移1 (2010湖北)在(x y)20的展开式中，系数有理数的项共有_项。点二二项式系数的性质及其应用初探例2 (1)要求证据： C 2C 3C nC=n2n-1。求S=C C C除以9的侑数。变形迁移2 (2011上海卢湾区质量调查)求C C C C的值。探索点3求系数的最大项已知例如f(x)=(3x2)n展开式中的各项的系数和比各项

4、的二项式系数和大992。(1)求出展开式中二项式系数最大的项(2)求展开式中系数最大的项。在变化转换3(1)(x y)n的展开表达式中，如果第七项的系数最大，则n的值可能等于()a.13、14b.14和15c.12、13d.11、12和13已知当(2)n、(I )展开式中第5项、第6项和第7项的二项式系数为等差数列时，求出展开式中的二项式系数的最大项的系数(ii )若展开式的前三项的二项式系数之和等于79，则求展开式中系数最大的项1 .根据(a bx)n (a，bR )的展开式，其中，r 1项的二项式系数是c，并且r 1项的系数是Can-rbr。2 .通用方程式主要用于确定二项式的指数，确定满

5、足条件的项或系数，且确定展开式的某一项或系数在展开式(a b ) n中，设a=b=1，C C C=2n。 假设a=1，b=-1，C-C C-C =0，c c =c c =2n-14 .二项式系数的性质，在(1)二项展开式中，若开头两端的“等距离”的二项的二项式系数相等，即C=C、C=C、C=C、C=C.(即，应二项式的指数为奇数，则中间二项的二项式系数相等，最大5 .二项式定理的一个重要作用是近似校正运算，当n不太大，|x|小时，可以利用(1 x)n1 nx .二项式定理证明完全性问题，或求佟数问题，在证明问题时必须注意变形技巧(满分： 75分)一、选择题(各问题5分，修订25分)1.(201

6、1山东实验中学模拟)在24的展开式中，x的幂指数为整数项共有()a .第三项B.4项C.5项D.6项2 .如果(2011重庆) (1 3x)n (其中n-n且n6 )的展开式中的x5和x6的系数相等，则n等于()A.6 B.7日本职业足球联赛3.(2011黄山终端) n的展开式中，如果第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()A.-7 B.7 C.-28 D.284 .如果(2010烟台高度三一型) n的展开式中的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为()A.7 B.-7 C.21 D.-215 .在(1- x )5(1- x )6(1- x )7(1- x ) 8的展开式中，包含x3

7、的项的系数是()A.74 B.121 C.-74 D.-121二、填空问题(各小题4分，合订12分)(2011湖北) (x-)18的展开式中包含x15的项的系数是_.(结果用数值表示)7.(2011济南高三模拟)如果已知a=(sin t cos t)dt，则6的展开式中的常数项为8.10的展开式中的常数项是三、解答问题(共38分)(12点) (1)设定为(3x-1)4=a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4。求a0 a1 a2 a3 a4。求a0 a2 a4。求a1 a2 a3 a4。(2)寻求证据： 32n 2-8n-9可以被64除尽(nN* )。10 .利用(12点)二项式定理，证明对

8、于所有nN*都有2n3。11.(14点) (2011泰安模拟)已知的n (nN* )展开式中的第五项系数和第三项系数之比为101。(1)求展开式中各系数的和(2)求包含在展开式中的项(3)求出展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项学案65二项式定理自主整理(1)二项式定理n 1c0、1、2、n Can-kbkCan-kbk 2.(1)等距离(2)(3)2n 2n-1 2n-1自我检测在式(1) 5中的r 1项是Tr 1=C(2x)r=2rCxr，其中r=2，则x2的系数是22C=40.2 .设展开式的常数项为r 1项，则Tr 1=C(4x)r(-2-x)6-r，即tr 1=c(-1)6。三.

9、 a4.-5.4解析(x-)6展开式的一般项是tr1=CX6- r (-1 ) r () rx-2 r=CX6-3r (-1 ) r () r ()。如果6-3r=0，则r=2，C()2=60，并且解是a=4。6.-班级活动区域例1解题指南(1)通项Tr 1=Can-rbr是(a b)n的展开式的r 1项，不是r项。 二项式的系数和项的系数是完全不同的两个概念，二项式的系数表示c，r=0，1，2，n，并且与a，b的值无关的项的系数表示项中除变量以外的常数部分(2)求二项展开式中的有理项一般是从公式中得到的项，其未知数的指数正好是整数的项，为了解决这种类型的问题，需要综合公式中的同一字母的指数，

10、根据具体的要求使其成为整数，从数的整除性中解决解(1)的通式是Tr 1=Cr=Cr，因为第6项是常数项，所以在r=5的情况下=0即，n=10。指令=2，得到的r=(n-6)=(10-6)=2，求出的系数是C2=.(3)根据一般公式，可以从题意中得到如果设定为=k (kZ )，则为10-2r=3k，即，r=5-k，r-n，k必须是双位数。k可以取2、0、-2，即r可以取2、5、8。因此第三项、第六项和第九项为有理项，分别为C2x2、C5、C8x-2。变体移转1 6解析展开式的一般项Tr 1=Cx20-r(y)r=Cx20-ryr。从020，z得到了r=0、4、8、12、16、20。因此，系数为有

11、理数的项一共是6项在与解题指南(1)组合数有关的加法问题中，经常使用C=C=C、C=C、kC=nC等形式的变形技巧。(2)为了利用二项式定理解决除法问题，合理地变形结构二项式是很重要的。求佟数问题，应该明确地除去式f(x )、式g(x)g(x)0、商式q(x )(1)证明方法设定为S=C 2C 3C (n-1)C nCs=数控(n-1 ) c (n-2 ) c2 c c=nC (n-1)C (n-2)C 2C C，得到的2S=n(C C C C C)=n2n。S=n2n-1 .原式取得证。方法2c=C、KC=数控。左边=数控数控=n(C C C)=n2n-1=右边。(2)解S=C C C=22

12、7-1=89-1=(9-1)9-1=C99-C98 C9-C-1=9(C98-C97 C)-2=9(C98-C97 C-1) 7，很明显，上式括号内的数是正整数因此，s除以9的侑数是7变形转移2解(1 x)2n=C Cx Cx2 Cx3 Cx2n。将x=1设定为C C C C=22n。将x=-1设定为C-C C- (-1)rC -C C=0。将两个公式相加，C=1得到C C C=-1=22n-1-1。例3解题指南(1)求出二项式系数最大的项：如果n是双位数，则在中间的项第项的二项式系数最大的n是奇数的情况下，中间的2个项(第项和第项)的二项式系数相等且最大(2)求出展开式的系数最大的项：在(a

13、 bx)n(a，b-r )的展开式中求出系数最大的项时，一般采用未定系数法设解(1)x=1，则二项式各项系数之和f(1)=(1 3)n=4n，另外，展开式中各项的二项式系数之和为2n从标题可以看出，4n-2n=992。(2n)2-2n-992=0，(2n 31)(2n-32)=0，2n=-31 (舍)或2n=32，n=5。n=5是奇数，所以展开式中二项式系数最大的项是中间二项，分别是T3=C3(3x2)2=90x6，T4=C2(3x2)3=270。(2)展开式的公式为Tr 1=C3r。假设Tr 1项的系数为最大r，rn，r=4。变形迁移3 (1)D (1)分为3种情况：t7系数最大的话总共13

14、个项目，n=12； 如果t 7和T6的系数相等且最大，则总共12项，n=11 t7和T8的系数相等且最大，由于校正14项，n=13，因此n的值可能等于11，12，13，因此选择D.解()C C=2C，n2-21n 98=0。在n=7或n=14，n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5。t 4的系数为C423=、T5的系数是C324=70，当n=14时，展开式中的二项式系数的最大项是T8。t 8的系数是C727=3 432。CCC=79，n2 n-156=0。n=12或n=-13 (截断)。Tk 1项的系数最大12=12(1 4x)12，9.4k10.4。k=10 .展开式中系数最大的项

15、为T11，T11=12C410x10=16 896x10。放学后练习区一. c2.B (1 3x)n的展开式中的x5项为C(3x)5=C35x5，包含展开式中的x6的项为C36x6，两项的系数等于C35=C36，求出n=7.三. 3.B 4.C 5.D6.17解析二项展开式的一般项设为tr1=cx18-r (-) r=(-1 ) r () RC.18-=15，解r=2。包含x15的项的系数是(-1)2()2C=17。7.-8.4 351分析10=10c (1x ) 10 c (1x )9c (1x )8c (1x )7c (1x ) 6。从第五项C(1 x)6起，后续的项不再出现常数项，前四项的常数项分别为CC、CC、CC和CC