高三数学一轮复习资料 第九编 解析几何 9.3 圆的方程（教案） 理

1、高三数学（理）一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第45期9.3 圆的方程基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 .答案 -2a2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、bR）对称，则ab的取值范围是 .答案 3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 .答案 （x-1）2+(y-1)2=44.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 .答案 (x-2)2+(y+1)2=95.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r0)

2、的圆心位于第 象限.答案 二例题精讲 例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为 .答案 x2+y2-4x=0例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2=.OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m

3、=3,此时0,圆心坐标为，半径r=.方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，=2.O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组.解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.+（3-2）2+5=.m=3.半径为,圆心为.方法三 设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，点O（0，0）在圆上.m-3=0，即m=3.圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+

4、2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.圆心M，又圆在PQ上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.圆心为，半径为.例3 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2

5、+）2=7+4， x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.巩固练习 1.（2008 山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 .答案 (x-2)2+(y-1)2=12.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，

6、1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2=2=4.此时，kl=-,从而kl=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.P点到直线3x+4y+

7、12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1.k,kmax=，kmin=.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 .答案 2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是 .答案 -a13.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x2+y2-

8、2x=0上任意一点，则ABC面积的最大值是 .答案 3+4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .答案 x2+y2-x2y+=05.若直线2ax-by+2=0 (a0,b0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 .答案 46.从原点O向圆：x2+y2-6x+=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为 .答案 7.（2008四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为 .答案 8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 .答案

9、（x+2)2+=二、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：=，即x+y-1=0.解方程组,得圆心C的坐标为（4，-3）.又圆的半径r=|OC|=5,所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25.（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0将P、Q点的坐标分别代入得： 令x=0，由得y2+Ey+F=0由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的两根，所

10、以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48解、组成的方程组得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.解 将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,如图，由于四边形PACB的面积等于RtPAC面积的2倍，所以SPACB=2|PA|r=.要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.当点P

11、恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得|PC|min=3,故四边形PACB面积的最小值为2.11.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).P点在圆x2+y2=4上,(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中, |PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结O

12、N,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.又动圆过点(-5,0),(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组,可得或