高三数学一轮复习 第14讲 平面向量的概念及应用教案

1、平面向量的概念及应用教学目标(1)平面向量的实际背景和基本概念通过力和力分析等例子，我们可以了解向量的实际背景，了解平面向量和向量等式的含义，了解向量的几何表示；(2)向量的线性运算(1)通过实例，掌握向量加减运算，并理解其几何意义；(2)通过实例，掌握向量数乘法的运算，理解其几何意义和两个向量共线性的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义。(3)平面向量的基本定理和坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；坐标将用于表示平面向量的加法、减法和乘法；了解坐标表示的平面矢量的共线条件。命题趋势本次讲座的内容属于平面矢量的基本内容。与平面向量的数量积相比，

2、问题的数量更少。本章用选择题和填空题考察了基本概念和性质，重点讨论了向量的概念、向量的几何表示、向量的加减、实数与向量的乘积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。这类问题不难，分数为59分。2017年高考预测：(1)问题类型可以是一个选择题或一个填空题；(2)知识点可以是由平面图形表示的平面向量、由基向量表示的交点或由向量坐标表示的共线性。教学准备多媒体课件教学过程1.梳理知识：1.向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量通常由表示，或者由有向线段的开始和结束的大写字母表示，例如几何表示；坐标符号。向量的大小是向量的模数(长度)，表示为| |。向量不能比较大小，但是向量的模数可以比较大小

3、。零矢量长度为0的向量，表示为，其方向是任意的并且平行于任何向量，是零向量=| |=0。由于的方向是任意的，并且它被指定为平行于任何向量，所以有必要看看在向量平行性(共线性)的问题中是否存在“非零向量”的条件。(注意与0的差异)单位向量模块是单位长度向量，向量是单位向量| |=1。平行矢量(共线矢量)方向相同或相反的非零向量。任何一组平行矢量都可以移动到同一条直线上，方向相同或相反的矢量称为平行矢量，标为。由于矢量可以任意平移(即自由矢量)，平行矢量总是可以平移到同一条直线上，所以平行矢量也称为共线矢量。数学中研究的向量是一个自由向量，只有两个元素，大小和方向，起点可以任意选择。现在我们必须区

4、分共线矢量中的“共线”和几何中的“共线”的含义，并理解平行矢量中的“平行”不同于几何中的“平行”。等向量具有相同长度和方向的相等向量在平移后总是重合的，这表示为。在面积和方向上是平等的。2.向量的运算(1)向量加法求两个向量之和的运算称为向量加法。设置，然后=。规定：(1)；(2)向量加法满足交换定律和组合定律；向量加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”(1)当使用平行四边形法则时，两个已知向量应该共享一个起始点，并且和向量是其起始点与已知向量的起始点重合的对角线，而差向量是另一个对角线，并且方向是从递减向量到递减向量。(2)三角形法则的特征是“端到端连接”，从第一个向量的起点到最后一个向量

5、的终点的有向线段代表这些向量的和；差矢量从减去矢量的端点指向减去矢量的端点。当两个向量的起点相同时，平行四边形ru反向矢量：长度相等、方向相反的矢量，称为反向矢量。记住，零向量的反方向量仍然是零向量。有：(一)=；()=()=；(iii)如果是相互相反的向量，=，=，=。向量减法与矢量相加的相反矢量称为和之差。注：求两个向量之差的运算称为向量减法。作图法：它可以表示为从终点指向的向量(有一个共同的起点)。(3)实数和向量的乘积(1)实数和向量的乘积是向量，其长度和方向规定如下：()；()当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换定律、组合定律和分布

6、定律。3.两个向量共线定理：向量与非零向量共线，并且只有一个实数，因此=。4.平面向量的基本定理如果一个平面上有两个不共线的向量，那么这个平面上的任何向量都只有一对实数：这个不共线的向量被称为代表这个平面上所有向量的一组基。5.平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，以x轴和y轴方向相同的两个单位向量为基，这从平面向量的基本定理中可以得知。这个平面上的任何向量都可以表示为(x，y)，这被称为向量坐标为=(x，y ),因为它一一对应于数对(x，y)。规定：(1)等矢量具有相同的坐标，具有相同坐标的矢量是等矢量；(2)矢量的坐标与代表矢量的有向线段的起点和终点的具体位置无关，而

7、只与它们的相对位置有关。(2)平面向量的坐标运算：(1)如果，那么；如果，那么；如果=(x，y)，那么=(x，y)；如果，那么。二.典型案例分析给出以下建议：(1)具有公共端点的两个向量必须是共线向量；如果a、b、c、d是四个非共线点，那么=是四边形ABCD为平行四边形的一个充要条件；如果a和b在同一个方向并且|a|b|，那么ab； 和是实数。如果 A= B，那么A和B共线。虚假命题的数量是()A.1 B.2C.3 D.4不正确。当起点不在同一条线上时，尽管终点相同，但矢量不在同一直线上。正确。=， | |=| |和。A、b、c和d是四个不共线的点。 A四边形ABCD是平行四边形。相反，如果四

8、边形ABCD是平行四边形，那么AB是DC，方向相同，所以=。不正确。两个向量在大小上无法比较。不正确。当=0时，a和b可以是任意向量，满足 a= b，但a和b不一定共线。C从问题中理解1.平面向量分析概念解题方法准确理解向量的基本概念是解决这类问题的关键，尤其是对等向量、零向量等概念的理解应该到位，这也是充分利用反例进行否定的有效方法。2.几个重要的结论(1)向量等式是传递的，非零向量并行是传递的；(2)向量可以平移，平移后的向量等于原始向量；(3)向量平行度与起点的位置无关。试着问问题1.设a0为单位向量，如果a是平面上的向量，则a=| a | A0如果a和a0平行，则a=| a | A0如

9、果a和a0平行且| a |a|=1，则a=A0。在上述命题中，虚假命题的数量是()A.0 B.1C.2 D.3分析：选择三维向量是一个既有大小又有方向的量。A和|a|a0的模是相同的，但方向不一定相同，所以是一个假命题；如果A和a0平行，则A和a0有两个方向：一个方向相同，另一个方向相反，这时A=-| A | A0， 也是一个假命题。总而言之，错误命题的数量是3。向量的线性运算代码导入(1)(2011年四川高考)如图所示，=()在正六边形ABCDEF中A.0 B .C.D.(2)在ABC中，已知D是AB边上的一个点。如果=2，=，那么等于()A.B.C.- D.-(1)如图所示，在正六边形AB

10、CDEF中，=，=，+=+=+=+=CF.(2)=+，=+，2=+.并且=2，2=+=+(-)=+。=，即=。(1)丁(2)甲如果(2)中的条件改变如下：如果点D是AB边延长线上的一个点并且| |=| |，如果= ，-的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：=2=2(-)=2-=。=2,=-1.-=3.回答：3从问题中理解在向量的线性运算中，应尽可能将其转化为平行四边形或三角形，并用平行四边形法则和三角形法则解决问题，并注意平面几何的性质，如三角形中的中线和相似三角形的知识。试着问问题2.(2012年汉阳调查)如果A、B、C和D是平面中的任意四个点，请给出以下公式：+=+；+=+；-=

11、。正确的答案是()A.0，B. 1C.2 D. 3分析：C 1的等价公式是-=-，左=，右=，不一定相等；(2)公式的等价公式为-=-，=成立；的等价公式是-=，=成立。共线向量代码导入让两个非零向量不共线。(1)如果=a b，=2a 8b，=3 (a-b)，验证a、b和d共线；(2)尝试确定实数k，使ka b和a kb共线。(1)证据：=a b ,=2a 8b，=3(a-b)，=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5。，共线，它们有共同的点b，A，b和d共线。(2)ka * b与kb共线，有一个实数，所以ka b= (a kb)，即ka b= a kb。(k-

12、)a=(k-1)b.* a，B是两个不共线的非零向量， k-= k-1=0，即k2-1=0。k=1.从问题中理解1.当两个向量共线时，只有非零向量可以表示与其共线的其他向量。解决向量共线性问题，应注意待定系数法和方程思想的应用。2.证明了三点共线性可以用向量共线性来解决，但要注意向量共线性与三点共线性的区别和联系。试着问问题假设a和b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，让tR，如果3a=c，2b=d，e=t (a，b)，是否有一个实数t使c，d，e三点在一条直线上？如果存在，计算实数t的值；如果不存在，请解释原因。解决方法：根据这个问题，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3) a tb，

13、c，d和e在一条直线上，当且仅当有一个实数k，这使得=k，即(t-3) a tb=-3ka 2kb。(t-3 3k) a=(2k-t) B .因为甲和乙不共线，所以有T=解的。因此，有一个实数t=使得c，d和e在一条直线上。(2012苏北四市联考)如图所示，在四边形ABCD中，AC和BD在点o相交，让=a，=b，如果=2，那么=_ _ _ _ _ _ _(用向量a和b表示)。=2，DOCBOA和=，=()=a b .a+b从问题中理解用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基，然后用基来表示向量，即用已知向量来表示未知向量。其实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减乘除。试着问问

14、题1.(南宁模拟，2012)在ABC中，m是边BC上的任意点，n是AM的中点， =，那么是()A.BC.D.1分析：选择A，让=m=m (-) (0 m 1)，然后=(1-m) m，=，所以 =。平面向量的坐标运算代码导入(1)(2012年西城底)，已知向量a=(，1)，b=(0，-2)。如果实数k和向量c满足2b=KC，那么c可以是()A.(，-1) B.(-1，-)C.(-，-1) D.(-1，)(2)我们知道A (-2，4)，B (3，1)，C (-3，4)。让=甲，乙，丙.寻找3a b-3c；求满足a=MB NC的实数m，n。(1)a=(1)，b=(0，-2)，a+2b=(,-3)=-

15、(-1,).(2)从已知的a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8)。3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42)。MB+NC=(-6m+n，-3m+8n)，解决方案(1)丁在这个例子中，条件=3c，=2b被添加到问题(2)，并且m，n和向量的坐标被获得。解决方案：=-=3c，=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). m (0，20)。=-=-2b，=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2)，N(9,2).=(9,-18).从问题中理解1.矢量坐标运算实现了矢量运算的代数化，并将数与形结合起来

16、，使几何问题转化为定量运算。2.当且仅当两个向量的坐标对应相同时，两个向量相等。这时，注意方程(集合)的思想的应用。矢量的坐标不同于点的坐标：矢量平移后，其起点和终点的坐标会改变，但矢量的坐标保持不变。试着问问题2.(淮安仿真2012)众所周知，矢量A=(6，4)，B=(0，2)，A=B，O是坐标的原点。如果点C在函数Y=sin的像上，实数的值是_ _ _ _ _ _ _ _。分析：从问题的含义来看，=(6，4) (0，2)=(6，4 2)，因此，点c的坐标是(6，4 2)。根据4 2=sin=1的条件，解=-。回答：-平面向量共线性的坐标表示代码导入(2011年广东高考)我们知道向量a=(1，2)，b=(1，0)和c=(3，4)。如果是实数，(ab)c，那么=()A.BC.1 D.2你可以从(ab)c得到a b=(1 ，2)和(1 ) 4-32=0，所以=0。B在这个例子的条件下，问是否有一个非零常数，它使 b和a- c平行。如果它们是平行的，它们是在同一个方向还是相反的方向？解：a b=(1 ，2)，a- c=(1-3，