高三数学大一轮复习讲义 8.4直线、平面平行的判定与性质 理 新人教A版

1、8.4平行线和平面的判断和性质2014年高考将像这样进行测试。1.考察空间平行关系的判断和与自然相关的命题的判断；2.证明或探索解中空间的平行关系。为了复习和准备考试，你应该这样做。1.掌握平行线与平面的判断定理和性质，将空间问题转化为平面问题，回答过程的叙述步骤应完整，避免因条件写作不完整而失分；2.记住解决问题的根本在于“定理”，运用“归约”的思想，学会转化“线问题、线问题、面问题”。1.直线与平面平行性的判断和本质决定自然定义定理数字情况a=a,b,abaa,a,=b结论aba=ab2.面对面平行的判断和本质决定自然定义定理数字情况=a,b,ab=P,a,b，=a，=b,a结论aba难点

2、、原始疑点、明确来源1.证明直线与平面中的直线平行是一个常见的问题。但必须说明的是，直线在平面之外，直线在平面内。2.在判断和证明直线与平面的位置关系时，除了要熟练地运用判断定理和性质定理外，这个定义不能丢弃，因为它既可以作为判断定理，也可以作为性质定理。3.辅助线(平面)是解决(证明)线与平面平行性的关键。为了利用线与平面平行性的判断定理和性质定理，常常需要辅助线(平面)。1.不重合的线a、b和平面是已知的。(1)如果a和b ，那么ab；如果A和B，那么AB；如果ab，b，那么a；如果aB，a，那么B或B 。上述命题中正确的是_ _ _ _ _ _ _ _(填写序号)。回答解析如果A，B ，

3、那么A和B平行或不同；如果A和B，则A和B有可能平行、相交且在平面外；如果ab，b，那么a或a。2.已知和是两个不同的平面，直线和直线，命题P:和没有公共点；命题Q:，那么P是Q的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _条件.答案肯定是不够的a和B之间没有共同点，所以不能推导出来。当时，A和B之间一定没有公共点，也就是说，PD/q、qp和p是q的必要和不充分条件.3.已知平面平面和直线有以下命题：(1)a和中的所有直线是平行的；a平行于中无数条直线；和中的任何直线都不垂直。真正命题的序号是_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答分析上，因为，所以A，在平面上有无数条平行于A线的线，但不是所有

4、的线都平行于A线，所以命题为真，命题为假。平面上有无数条线垂直于A线，所以命题是假的。4.(浙江，2011)如果直线L不平行于平面和L ，那么()A.中的所有直线都与l不在同一平面上B.在中没有平行于L的直线C.在中有一条独特的平行于L的直线D.中的所有直线都与l相交回答乙根据问题的含义，如果直线l与平面相交，则直线l与平面中的直线之间只有两种位置关系，即相交和平面外，因此只有选项b是正确的。5.(四川，2012)下列命题是正确的()A.如果两条直线和同一平面形成的角度相等，那么两条直线是平行的B.如果一个平面中有三个点与另一个平面的距离相同，那么这两个平面是平行的C.如果一条直线平行于两个相

5、交的平面，那么这条直线平行于这两个平面的交点如果两个平面都垂直于第三个平面，那么两个平面是平行的答案三分析上，使用线和平面之间位置关系的判断和性质解。一个误差，如圆锥的任意两个母线与底面形成的角度相等，但两个母线相交；B错了，在ABC的三个顶点中，A和B在的同一侧，而C点在的另一侧，AB平行于。此时，可能有三个点A、B和Cd错误，比如教室里两个相邻的墙都垂直于地面，但是这两个面相交，所以c .直线与平面平行性的判断及性质例1正方形ABCD和正方形ABEF与AB相交的平面，在AE和BD上分别有点p和q，AP=dq。证明：PQ平面BCE。思想的启示：要证明一条线平行于一个平面，我们可以利用这条线平

6、行于平面的判断定理，也可以利用这条线平行于平面的性质。第一种证明方法如图所示。使PMAB从BE交叉到m，使QNAB横过BC到n，连接MN。*正方形ABCD和正方形ABEF具有公共边AB， AE=BD。AP=dq， PE=QB，和pmabqn，=，=，PMNQ，即四边形pmnq是平行四边形，PQMN.和Mn平面BCE、pq平面BCE，PQ飞机公司。方法2如图所示，连接AQ，将BC延长线延伸到k，然后连接EK。* AE=BD，AP=DQ，PE=BQ,=，和adbk，=，=,PQEK.和pq平面BCE，ek平面BCE，PQ飞机公司。方法3如图所示，在平面ABEF中，通过点p作为点PMBE，在点m处通

7、过点AB，连接QM。PM飞机公司，且平面ABEF平面BCE=be，PMBE,=，Ae=BD，AP=dq， PE=bq，=,=，MQAD和公元公元前，mqmqbc飞机公司，并且pmMQ=m，beBC=b，平面PMQ平面BCE和PQ平面pmq。PQ飞机公司。探索提高线平面平行度判断或证明的常用方法：(1)利用线平面平行度的定义(无公共点)；(2)利用平行线和平面的判断定理(a ，b ，aba)；(3)利用曲面平行性定理(，aa)；(4)利用平面平行性(，)。如图所示，在金字塔P-ABCD中，底部的ABCD是菱形，bad=60，AB=2，PA=1，PA平面ABCD，e是PC的中点，f是AB的中点。证

8、据：BE平面PDF。证明了以局部放电中点为m，将微机电系统和微机电系统连接起来，e是重心的中点，ME是PCD的中线，ME CD。F是AB的中点，四边形ABCD是菱形，AB CD，ME FB，四边形MEBF是一个平行四边形，BEMF.* be plane pdf，MF plane PDF， be plane PDF。问题二中平面与平面平行性的判断与性质例2如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C 1中，e、f、g和h分别为AB和AC。A1B1和A1C1的中点，验证：(1)b、c、h、g四点共面；(2)飞机EFA1飞机BCHG。思维启示：证明四点共面，就证明GHBC；为了证明平面是平行的，一个平面上的

9、两条相交线平行于另一个平面。证明了(1)GH是ghb1c1.a1b1c 1的中线和 B1 C1BC，GHBC，b，c，h和g的四个点是共面的。(2)e和f分别是AB和AC的中点，EFBC、*英孚飞机BCHG，BC飞机BCHG，EF飞机BCHG。* A1G执行局，四边形A1EBG是一个平行四边形，A1EGB.* a1e飞机BCHG，英国飞机BCHG。A1E飞机BCHG。a1eef=e，平面plane bchg平面。探索提高检验面平行度的方法；(1)面对面平行度的定义；(2)面对面平行判断定理：如果一个平面上的两条相交线与另一个平面平行，那么这两个平面是平行的；(3)用两个垂直于同一直线的平面平行

10、；(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面是平行的；(5)利用“线-线平行度”、“线-平面平行度”和“平面-平面平行度”的相互转换。证明了如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交点。解是已知的：直线a平面，直线a平面，=b .验证：Ab证明：如图所示，穿过直线A作为平面，与平面，相交于直线M，n(m，N不同于相交直线B)，由直线与平面平行性定理可得AM，AN，由平行线的传递性可得MN。因为n，m，n，问题三平行关系的综合应用实例3如图所示，在四面体ABCD中，横截面EFGH平行于相对的边AB和CD，横截面积最大的横截面在什么位置？思维启示：利用线与面平行的性

11、质，可以得到线与面的平行度，先确定截面形状，然后建立目标函数，求出最大值。要解AB平面EFGH，EFGH飞机分别在FG和EH与ABC飞机和ABD飞机相交。ABFG,ABEH，FGEH，同样可以证明efGH，截面EFGH是平行四边形。设AB=A，CD=B，FGH=(是直线AB和CD形成的角或其余角)。如果fg=x并且GH=y，我们可以从平面几何知识中得到=，=并且这两个公式加起来得到=1，即y=(a-x)。SEFGH=FGGHsin =x(a-x)sin =x(a-x)。* x0、a-x0和x (a-x)=a是固定值。当且仅当x=a-x=a-x (a-x)=时，则x=，y=。也就是说，当横截面E

12、FGH的顶点e、f、g和h是边AD、AC、BC和BD的中点时，横截面面积最大。通过探索和改进线与平面的平行性，可以实现线与线的平行性转换，特别是在截面图的绘制中，常用于确定相交线的位置。对于最大值问题，我们经常用功能思维来解决。如图所示，在立方体ABCD-A1B1C 1 D1中，O是底部ABCD的中心，P是DD1的中点，让Q是CC1上的点，并问：当平面D1BQ平面PAO时，点Q在哪里？当q是CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO证明如下：Q是CC1的中点，p是DD1的中点，QBPA.* p和o分别是d1bpo. dd1和DB的中点And/D1B飞机报，宝飞机报，QB飞机的PAO，pa飞机的PA

13、O，D1B平面PAO，QB平面PAO，D1BQB=b，D1B，QB平面D1BQ，d1bq飞机pao飞机。立体几何中的探索性问题典型示例：(12个点)如图所示，在立方体ABCD-A1B1C 1 D1中，e是边DD1中点。(1)求出直线BE与平面ABB1A1形成的角度的正弦值；(2)在边缘C1D1上是否有一个点F，因此B1F平面A1BE？证明你的结论。检查的角度(1)可用作平面ABB1A1至e的垂直线和线角；(2)先找出f点，然后证明B1F平面为A1BE。注意解决问题的方向性。标准化解决方案解决方案(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连接EM和BM。因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1是正

14、方形，所以EMAD。2分在立方体ABCD-a1b1c 1 D1中，AD飞机ABB1A1，因此，EM平面ABB1A1，所以BM是直线BE在平面ABB1A1上的投影，而ebm是BE与平面ABB1A1形成的角度。4点图(a)假设立方体的边长是2，那么em=ad=2，be=。因此，在RtBEM中，sinEBM=，5分也就是说，直线BE和平面ABB1A1形成的角度的正弦值是。6分(2)在边缘C1D1上有一个点F，因此B1F平面A1BE。实际上，如图(b)所示，C1D1和CD的中点f和g被用来连接B1F、EG、BG、CD1和FG。因为A1D 1B1C 1BC，并且a1d1=BC，四边形A1BCD1是平行四

15、边形，所以D1CA1B。e和g分别是D1D和CD的中点，图(b)所以EGD1C，所以EGA1B。这表明A1、B、G和E是共面的，所以BG平面是A1BE。8分四边形C1CDD1和B1BCC1都是正方形，f和g分别是C1D1和CD的中点。因此，FGC1CB1B和fg=c1c=b1b，因此，四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG，10分而B1F飞机A1BE、BG飞机A1BE，因此，B1F平面为A1BE。12分答案模板对于探索性问题，有两种形式的写作步骤：一是第一步：找出要点的位置。第二步：证明符合要求。第三步：给出一个明确的答案。第四步：反思和回顾。检查关键点、易错点和答案规格。另一种：从结论

16、出发，“应该建立什么”和“只需要建立什么”，寻求建立结论的充分条件，类似于分析方法。温馨提示：(1)这个问题是立体几何中的一个综合性问题，侧重于推理和计算能力。(2)问题(1)中常见的错误是无法确定平面ABB1A1的垂直线，因此无法确定线与平面的角度。(3)问题(2)是一个探索性的问题，很难开始，因为它找不到解决问题的切入点。(4)写作格式混乱无序。方法和技术1.pa的转换关系(1)定义方法；(2)判断定理；(3)表面间平行的性质。3.平面与平面平行的主要判断方法(1)定义方法；(2)判断定理；(3)推理；(4)a,a.错误与预防1.当证明直线与平面平行时，必须强调直线不在平面内，否则会产生误差。2.在解决线与平面平行度的判断时，一般遵循从“低维”到“高维”的转换，即从“线与平面平行度”到“平面与平面平行度”；当应用性质定理时，顺序正好相反，但是应该注意的是，变换的方向总是由主题的特定条件决定的，并且不能太“模式化”。3