第里七章波动(含电磁波75).ppt

1、波动学基础,第 七 章,基 本 要 求,一、掌握描述波动各物理量( 特别是相位)的 物理意义及其 各量之间的相互关系。,二、理解机械波产生的条件；掌握平面简谐波的波动方程 及其物理意义；理解波形曲线；了解波的能量传播特 征及能流、能流密度概念。,三、了解惠更斯原理和波的叠加原理，理解波的相干条件， 能用相位差和波程差分析确定相干波叠加后振幅加强 和减弱的条件。,四、理解驻波及其形成的条件，了解驻波和行波的区别。,五、了解多普勒效应。, 波动 振动在空间的传播过程。, 声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它对应一种物质波。波即可以是运动状态的传递 ( 而非物质的自身运动)，也可以是物质本身的

2、运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。, 各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，而光波有时可直接把它看作粒子 光子的运动。, 机械波 机械振动在弹性介质中的传播。,一、产生机械波的条件,74 关于波动的基本概念,1. 产生机械振动的振源 (波源),波动是波源的振动状态或能量在介质中的传播，介质中 质点并不随波前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。,二、机械波的类型,横波 纵波,线性波 非线性波,脉冲波 持续波,简谐波 非简谐波,2. 传播这种机械振动的弹性介质,等。,任一波(如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。,1. 横波: 振动方

3、向传播方向的波。,2. 纵波: 振动方向传播方向的波。,固体中的波源可以产生横波和纵波。 液体和气体中的波源只能产生纵波。 水面波既不是纵波，也不是横波。,2. 波前 波源最初振动状态传播到各点所连成的面。,根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波、柱面波等。,三、波的几何描述,1. 波面 振动相位相同的各点连成的面(同相面)。,3. 波线 沿波的传播方向的射线。,在各向同性的均匀介质中：波线波面。,1. 弹性绳或弦线上的横波波速,2. 固体中的横波波速,T 绳或弦中的张力；,四、机械波的传播速度, 绳或弦的质量线密度。,(7-50),G 切变模量；, 固体的质量体密度。,4. 液体和气体中的

4、纵波波速,B容变模量；,3. 固体中的纵波波速,Y杨氏模量；, 固体的质量体密度。,(7-51), 液体或气体的质量体密度。,(7-52), G Y， 固体中 u横 u纵 。,电磁波的传播不需要介质,由电磁学可以导出电磁波在真空中 的传播速度(光速)是,真空介电常数,真空磁导率,五、惠更斯原理, 介质中波动到达的各点都可以看作发射子波的波源，,1. 惠更斯原理,在其后任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前。,2. 原理的核心, 介质中波动到达的各点可视作新波源, 提出了子波概念,3. 原理的依据, 波动在介质中是逐点传播的, 各质点作与波源完全相同的振动,已知某时刻的波面和波速， 可确定下时刻

5、的波面和传播方向。, 适用于各种波，如机械波、电磁波等,5. 原理的局限性, 没有说明子波的强度分布,4. 原理的应用,障碍物右边的 波的波源 好像在孔径处, 适用于非均匀的、各向异性的介质, 没有说明子波不向后传播的问题,六、惠更斯原理的应用,解释波的传播、衍射(绕射)、散射、 反射、折射等现象。,1. 波的传播,平 面 波,球 面 波,传播方向,2. 波的衍射 ( 绕射 ), 波传播过程中遇到障碍物能绕过其边缘传播的现象。,如果你的家住在大山之后， 广播台、电视台都在山前，,？,听广播和看电视哪个更容易?,3. 波的反射和折射, 波的折射,用作图法求出折射波的传播方向：,折射定律的证明：,

6、 波的反射(略), t,D,一、描述简谐波的物理量 (151), 波线上两个相邻的相位差为 2 的质点间的距离。,横波波长： 相邻的波峰(或波谷)间距离；,75 平面简谐波和波动方程, 简谐波 波源作简谐振动，介质不吸收波动的能量， 各质点也重复波源的简谐振动形成的波。, 平面简谐波 波面是平面的简谐波(一维简谐波)。,1. 波长,波线上每隔的距离出现相位差 2 、振动状态相同 的质点，反映了波的空间周期性。,纵波波长： 相邻的密部(或疏部) 中心间距离。, 单位时间内波动所传播的距离。, 波前进一个的距离所需的时间。, 周期的倒数。,2. 周期 T,波线上各质点每隔 T 时间完成一次全振动，

7、T 反映了 波的时间周期性。,3. 频率,即单位时间内波传播的距离中包含的波长的数目(波数)。,4. 波速 u,即同相面或波前前进的速度，亦称 相速。,在各向同性的均匀弹性介质中，简谐波的u是常数， 仅由介质本身的性质决定。,5. 、T、u 的关系, 波速 u 决定于介质； 频率决定于波源。, 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时， 频率不变，波速不同， 因而波长 不同。,(7-55), 该式将波的空间周期性和时间周期性联系在一起。,二、平面简谐波的波动方程,一维波动方程的一般表示：,若波速 u 为恒量，则从整体上看，整个波以速度 u 向前 推进，所以又称这种波为行波（travelin

8、g waves）。, 波动方程 ,描述介质中各点振动位移随时间和平衡位置 变化的函数关系。,x：质点平衡位置的坐标；,y：质点 t 时刻的振动位移。,下面以横波为例说明平面简谐波的波动方程：,(波函数),(1) 建立坐标原点 O 处质点的振动方程：,O点的振动传到 P 点需用时间,t 时刻 P 点比 O 点相位落后:,(3) 写出P点的振动方程：,P点在 t 时刻的位移 = O 处质点在 时刻的位移。,1. 沿 x 轴正向传播的波动方程,(2) 确定任意质点 P 的振动相位：,该式代表任意位置处质点的振动规律，即为波动方程。,利用关系式：,得下述等价形式的波动方程：,(7-5 6),(7-57

9、),波动方程：,等。,2. 波动方程的物理意义,波动方程波表示 x1 处质点的振动方程，,(1) x 一定： x = x1 (常量),对应 y t 曲线为该质点振动曲线。,该质点的相位落后于O点 ，,波动方程表示 t1 时刻各质点位移分布，,(2) t 一定： t = t1 (常量),y x 曲线为该时刻波形曲线。,称 t1 时刻的波形方程。, 波形曲线反映了横波、纵波的 各质点位移情况。,(3) x，t 皆为变量,x = u t,波动方程表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况。, 波动方程的物理意义, 波动方程既描述了波线上各质点振动状态及相位差异， 又描述了随着时间的推移，波形以波速 u

10、沿传播方向传播的 情况，具有完整的波动意义。, 简谐波具有空间和时间周期性：, 平面简谐波的波动方程既适用于横波，也适用于纵波。,3. 波线上各质点的振动速度和加速度, 注意 振动速度 v 与波速 u 的区别：,u 波在各向同性的均匀介质中传播速度，是常数。,v 介质中各质点振动速度，是时间的周期函数；,根据波动方程 得：, 速 度：, 加速度：,4. 波线上两质点之间的相位差, 相位差：, 波程差：, 结论：,波线上，沿波的传播方向各质点的相位逐点落后，,每隔的距离，相位落后 2 。,P1,P2,5. 沿 x 轴负向传播的波动方程,t 时刻 P 点比 O 点相位超前：,故 P点的振动方程为：

11、, 沿 x 方向传播的波动方程：,*三、平面波动方程的微分形式,由波动方程：,得出平面波动方程的微分形式：,(7-65),例1：一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知 A=1.0 m，T = 2.0 s， = 4.0 m。t = 0 时坐标原点处质点位于平衡位置沿 y 轴正 向运动。求：(1) 波动方程； (2) t = 1.0 s 时波形方程并画 出波形图；(3) x = 1.0m 处质点的振动方程并画出振动图。,解: (1) 按所给条件, 取波动方程的一般形式为,式中 为坐标原点的振动初相，由已知得：,代入所给数据， 得,四、波动方程应用举例,波动方程：,(2) 将 t = 1.0 s 代入

12、式得出此时刻波形方程:,由式可画出 t = 1.0 s 的波形图：,4.0,(3) 将 x =1.0m 代入 式，,由此作出其振动曲线如图：,得该处质点的振动方程：,例 2：,物理练习十二 计算题 1,解：,已知,得：,取：,O 点的振动方程：,(1),(2),沿x 方向传播的波动方程为：,(3),例 3：,物理练习十二 计算题 2,解：,(1),沿 x 方向传播的波动方程：,将 代入上式：,得 D点的振动方程：,(2),求沿 x 正向传播的波动方程，,将 代入得 D点的振动方程：,O,应先写出O点的振动方程：,O比A点相位超前,O点振动方程：,故沿 + x 方向传播的波动方程：, 波动方程与

13、坐标的选择有关而振动方程与坐标的选择无关。,例 4：,物理练习十二 计算题 4,解：,(1) 由图知,t = 0 时， O处质点向下运动：,得：,O 点振动方程：,波动方程：,(2) 的波形,将 t = 0 的波形向x 方向平移：,(3) x = 100 m 处质点,振动方程：,振动速度：,一、机械波的能量和能量密度,波动是振动状态的传播，也伴随着振动能量的传播。,在 x 处取一质元：,质量：,76 波的能量和强度,以一维简谐纵波沿长细杆传播为例：,长 d x ，截面积 d S ，,体积：,质元的速度：,(1) 质元的动能：,(2) 质元的势能：,质元左端位移 y，右端位移 y + d y，形

14、变为 d y，,(7-66),得：,(弹性力),(胡克定律),且有:,得质元的弹性势能：,(7-67),代入,(3) 质元的总能量,(7-69),(1) 参与波动的介质中各质元的 动能和势能是时间 t 的周期 函数且大小相等，相位相同， 同时达最大，同时等于零。,2. 说明：,(2) 参与波动的各质元的机械能不守恒：, x 一定，波线上该处质元的 d E 随 t 周期变化；, t 一定，此时波线上各质元的 d E 随 x 周期变化。,(3) 各质元 d E 随 x 、t 变化，说明能量不断流过质元。, 结论：,介质中参与波动的各质元的动能与势能同相且相等，机械能不守恒。每一质元不断地从前一质元

15、吸收能量而向后一质元释放能量。能量以波动形式传播，波动是能量传播的一种方式。,波的能量特征 , 注意：与振动能量的区别,孤立系统质元作谐振动时动能与势能反相，动能最大时 势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量。,4. 波的能量密度,(1) 能量密度 w,(7-70),(7-71),得：, 介质中单位体积内的波的能量。, 波在一个周期内能量密度的平均值。,对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量 的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过 程，周而复始。平均讲来，该体元的平均能量密度保持 不变。,即介质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的 过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能

16、量沿 波速方向传播。,由此可知：,二、平均能流和平均能流密度, 通过垂直波速方向的单位面积的平均能流。, 平均能流密度是矢量，其方向与波速方向相同：, 单位时间内通过垂直波速方向 的某截面积的波的平均能量。,(7-72),2. 平均能流密度 I (波的强度),(7-73),1. 波的独立传播,一、波的叠加原理,几列波在同一介质中传播，则有, 该叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。,77 波的干涉,2. 波的叠加, 无论是否相遇， 各列波仍 保持原有的特性 (频率、波长 和振动方向等) 不变。, 在相遇区域内，任一点的振动为各个波 单独存在时在该点引起的振动的矢量和。, 叠加原理说明可

17、以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。,1. 波的干涉现象,二、波的干涉,这种稳定的叠加图样称 为干涉现象。,2. 波的相干条件,(2) 相位差恒定；,(3) 振动方向相同。,(1) 频率相同；,3. 相干波、相干波源,某些质点振动始终加强，,某些质点振动始终减弱，, 满足相干条件的波、波源。,两相干波源的振动：,分别引起 P 点的振动：,4、干涉的计算,在 P 点的振动为同方向同频率谐振动的合成：,1）. 两相干波在相遇点的相位差, 相位差 = 初相差 + 由于传播距离不同引起的相位差。,由于波的强度正比于振幅的平方:,3）. 合成波的强度,2）. 合振动的振幅,(7-75),所以合成波的强度

18、为：,5. 相位差干涉条件,1) 干涉加强,2) 干涉减弱,干涉始终加强，称 干涉相长。,干涉始终减弱，称 干涉相消。,若 A1 = A2 ，则 A = 0 ， 静止不动。,则,则,(7-77),(7-78),6. 波程差干涉条件 (适用于 1 = 2 ),两相干波到相遇点的波程差：,当 1 = 2 时，相位差为：,干涉相长 （7-79）,干涉 相消,(7-80),由相位差干涉条件得波程差干涉条件：, 注意: 上述条件适用于两相干波在同一均匀介质中传播的情况。,例1：A、B 两点有两个相干波源振幅相等，频率为100Hz， 相差为 ，其 A、B 相距 30 m，波速为400 m /s ，,求:

19、AB 连线上因相干涉而静止的各点的位置。,三、波的干涉举例,解： 取 A 点为坐标原点， A、B 连线为 x 轴， 如图所示，,P,(1) B 点外侧任意点 P ：, B 点外侧没有因干涉而静止的点。,(2) A 点外侧任意点 P ：, A 点外侧没有因干涉而静止的点。,(3) AB 连线之间任意点 P ：,P,P,由干涉静止的条件：,得 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置：,例 2: A, B 两点为同一介质中两振福相等的相干波源，频率为 100 Hz，波速为10 m.s-1，已知点 A 为波峰时 B 为波谷， 求： A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果。,解: 由图可知，BP

20、= 20 m ， AB = 15 m ，,已知 v = 100 Hz ，u = 10 m.s-1，,得,设 A 的相位较 B 超前， 则：,这样的 值符合合振幅的最小的条件，若介质不吸收 波的能量， 则两波振幅相同，因而合振幅,根据相位差和波程差的关系有：,故P 点因两波干涉减弱而不发生振动。,例：弦线上的驻波,1、驻波的产生,驻波 , 波节 振幅为0，始终静止的点, 波腹 振幅最大，振动最强的点,四 驻 波 (p164),振幅相等、传播方向相反的两列相干波的合成波。,弦长等于半波长的整数 倍时才能形成驻波。,2、驻波表达式,写为：, 驻波方程,(3) 各点作频率相同、振幅不同的谐振动。,(1

21、) A驻 是 x 的周期函数，决定 x 处质点的振幅。,(2) 决定 x 处质点的振动状态。,(5) 驻波方程的实质：振动方程。,(4) 方程中不含 项，非行波，没有波形的传播。,驻波方程, 说明：,3、驻波的特征,1）. 波节和波腹, 相邻两波节(或波腹)间的距离：, 波节 振幅 = 0, 波腹 振幅 = 2 A,波节位置,波腹位置,2）. 驻波中各点的相位关系,3）. 驻波的能量特征, 波节之间各质点作振幅不同的同相振动；, 波节两边质点作反相振动 。,当各质点达最大位移时全部为势能，波节点附近集中的 势能最多(此处形变最大),(2) 当各质点达平衡位置时全部为动能，波腹点附近集中的 动能

22、最多(此处速度最大),(3) 驻波的动、势能在两相邻的波节波腹之间相互转化， 既无波形传播又无振动状态和能量传播。,五、半波损失 (相位跃变）,反射处形成波腹。,反射处形成波节；,1. 波阻： u,其中， 介质密度；u 波速。,两介质相比较， u 大者称波密介质，小者称波疏介质。, 当波由波疏介质向波密介质垂直入射在两介质界面 反射时相位突变 ，称为“半波损失”。, 时，有半波损失，, 时，无半波损失，,有,无,2. 半波损失,例： 一沿 x 轴正向传播的入射波方程为,在 L = 5处的 P 点被固定端的界面反射，,六、驻波问题举例,求：(1) 反射波的波动方程； (2) 合成的驻波方程；,解

23、：,(1),波由 O 传至 P 再返回 O ，引起 O 点振动相位比 y入O 落后了：,(3) 合成驻波的波节、波腹点的坐标。,(2) 驻波方程,得反射波方程为：,所以反射波在O点的振动方程为：,(3) 波节点：,波腹点：,波节点坐标：,波腹点坐标：,*78 多普勒效应,如果波源与观察者之间有相对运动， 则观察者接受到的 波的频率不同于波源频率的现象(多普勒频移)。, 多普勒效应 ,下面仅讨论波源、观察者沿同一直线运动的情况。,设介质中：,u 波速。,v SS 波源运动速度；,v O 观察者运动速度；, 波源频率；, 观察者接受到的波的频率；,一、波源静止，观察者运动,P 接收到的频率 =,波

24、长保持不变：,单位时间内接受到完整波的数目(波数)：,(7-85), 观察者向着波源运动： v O 取“”，, 观察者离开波源运动： v O 取“”，,P 接收到的频率：,此时波长变为：,二、观察者静止，波源运动,(7-88), 波源向着观察者运动： v S 取“”，, 波源离开观察者运动： v S 取“”，,三、波源和观察者都相对介质运动,(7-91),式中 v O 和 v S 符号取法同上。, 结论：,波源和观察者相互接近时 ，频率变大；,波源和观察者相互远离时 ，频率变小。,四、观察者和波源的运动不在二者连线上,有纵向多普勒效应； 无横向多普勒效应。,五、若波源速度超过波速 ( v S

25、u ),形成“马赫锥 ”,飞行速度与声速的比值 v S / u 决定 角，,比值 v S /u 称“ 马赫数 ” 。,例1: 一警报器发射频率 1000 Hz 的声波, 离观察者向一固定 的目的物运动，其速度为 10 m / s。 试问: (1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少? (2) 观察者听到从目的物反射回来的声音频率为多少? (3) 听到的拍频是多少? (空气的声速为 330 m / s ),解:,(1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率：,已知：,(3) 两波合成的拍频为,目的物反射的频率等于入射声音的频率 2 。,(2) 目的物接到的声音频率为,静止观察者听到反射声音的频率:,例 2：利用多普勒效应监测汽车行驶的速度。一固定波源发出 频率为 100 kHz 的超声波，当汽车迎着波源驶来时， 与波源安装在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超 声波的频率为110 Hz。 已知空气中声速为 330 m.s-1， 求：汽车行驶的速率。,解: 分两步分析：,第一步：波向着汽车传播并被汽车接收，此