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文档简介

1、定义6.1 n个变量 的二次齐次多项式函数,称为二次型。,当 为复数时， 称为复二次型， 当 为实数时， 称为实二次型。,1 二次型及其矩阵,为方便介绍其矩阵形式，二次型也采用下述定义：,定义6.1* n个变量 的二次齐次多项式函数,其中aij=aji，称为二次型。,记,其中A为实对称矩阵。称上式为二次型的矩阵形式。,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,二次型的矩阵及秩,例 写出二次型 的矩阵,例2 写出二次型 的矩阵,定义6.3 设A,B是n阶矩阵，如果存在一个n阶

2、可逆矩阵C，使得,则称 B与A是合同的（congruent）。,注：1、合同关系满足反身性、对称性和传递性。,2、合同矩阵具有相同的秩。,3、若A为对称矩阵，则B也为对称矩阵。,例3 写出二次型 的矩阵,设有可逆线性变换,对于二次型，我们讨论的一个主要问题是：求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,2 化二次型为标准型,步骤1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线 性变换，就得到标准形；,一、拉格朗日配方法化二次型为标准形,2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按

3、1中方 法配方。,解,例1,所用变换为x=Cy，其中,例2 化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中 fx122x227x322x1x24x1x36x2x3,解,例3,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换为x=Cz ,变换矩阵为,二、初等变换法化二次型为标准形,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,三、正交变换法化二次型为标准形,例7,例6,注：任意一个二次型都可以通过可逆线性变换化成规范形，且规范形唯一确定。,例8,注：使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩。而且，其中所含的正项的个数（负项的个数）是固定的，称

4、为二次型的正（负）惯性指数。,为正定二次型,为负定二次型,例如,3 正定二次型,定理6.4 n元二次型 为正定的充分必要条件 为它的标准形中的正惯性指数等于n。,定理6.3 A为正定矩阵, B与A合同 ,则B 为正定矩阵，,定理6.2 对角矩阵D=diag(d1,dn) 正定的充要条件为 di0,i=1,2,n.,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全大于零,定理6.5 实对称矩阵A正定的充要条件是 和 合同。,例1 设A正定，则A可逆，且 也正定。,证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得,所以 也正定。,有没有更简单的方法？,这个定理称为西尔维斯特定理,定理6.5对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式全为正数，即,

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