计算水力学--第四章(1).ppt

1、第四章 河道水流计算,水文09级计算水力学教学课件,调课,11月29日下午1-2节（14周2） 调至 12月12日下午1-2节（16周1），地点：北教102,课 程 内 容,蛙跳格式 LAX-Wendroff格式 Abbott隐式格式 Presissmann隐式格式 四点线性隐格式,1. 蛙跳格式,离散格式,n-1,n,n+1,t,x,1. 蛙跳格式,1. 蛙跳格式,接近二阶精度，保证质量守恒,优点是：,所得的结果为锯齿形线，原因是因变量是在奇、偶交替的点上计算的，两组网格点互不相关。,缺点是：,1. 蛙跳格式,该格式的稳定性的必要条件是：,其中： U为特征流速 C重力波速,2. LAX-We

2、ndroff 格式,LAX和Wendroff提出了有限差分格式写成守恒形式的一阶微分方程系统为：,2. LAX-Wendroff 格式,泰勒级数展开：,原方程,2. LAX-Wendroff 格式,展开式：,二阶精度，显示格式,LAX和Wendroff提出了有限差分格式写成守恒形式的一阶微分方程系统,预报,校正,x,t,j+1/2,2. LAX-Wendroff 格式,2. LAX-Wendroff 格式,稳定性分析：,2. LAX-Wendroff 格式,稳定性条件为：,是矩阵的特征值,Lax-Wendroff 格式的使用。需要初始条件尽可能满足流动方程，格式具有二阶精度，而且是不耗散的，这

3、样，它不会使初始扰动光滑化。对于这一方程A和Q的边界值需用特征线法计算。,稳定性的形象表达,FTBS格式,稳定性的形象表达,x,t,j+1,j,i,i-1,i+1,特征线,i-2,Ct,时间步长dt要施加限制,稳定性的形象表达,x,t,j+1,j,i,i-1,i+1,特征线,i-2,Ct,Von Neumann稳定性分析,Abbott格式应用的微分方程形式与常用的有所不同，在连续方程中用“存储宽度”的概念，在动量方程中用“计算宽度B”的概念,3. Abbott 隐式格式,3. Abbott 隐式格式,3. Abbott 隐式格式,交错网格：,3. Abbott 隐式格式,连续方程离散格式 （i

4、）：,3. Abbott 隐式格式,动量方程离散格式 （i-1）：,3. Abbott 隐式格式,方程形式：,隐式格式,差分方程采用追赶法求解。 Abbott格式是无条件稳定的，如果时步长过大时，它的收敛速度较慢。 不管怎样，这种格式可以在相当大的Courant数下计算仍然保持稳定。在潮汐波计算中，Courant数可取1020，在明渠水流计算中，Courant数可取100。,3. Abbott 隐式格式,由于采用显格式对时间步长dt要施加限制，从而促使有限差分的隐式方法得到发展。本节介绍1960年发展起来的Preissmann隐式方法，其实际是一个四点隐格式，对圣维南方程进行离散，得到以增量表

5、达的非线性方程组，忽略二阶微量简化成为线性代数方程组，可以直接求解。,4. Preissmann 隐式格式,4. Preissmann 隐式格式,通用格式,马斯京根法,4. Preissmann 隐式格式,4. Preissmann 隐式格式,Preissmann,Preissmann 格式,式中：加权系数,4. Preissmann 隐式格式,相容性,稳定性,收敛性,弥散、耗散,4. Preissmann 隐式格式,相容性、精度、耗散弥散,相加 / 2,相加,1-,相容性、精度、耗散弥散,讨论：,=0，时空二阶，弥散为主,0，时一阶，空二阶； 耗散为主,=1 精度？数值效应？,=0.5,0.

6、5,等价方程、截断误差,稳定性,时空二阶精度,耗散为主，稳定性,=1 耗散最大、稳定性最好,=0.5, 0.5,稳定性：,精 度：,为其他值，为时间一阶，空间二阶精度,数值效应：,工程实践当中，选择用 =1,弥散为主，波动性, =0.5,4. Preissmann 隐式格式,四点线性隐格式,5. 四点线性隐式格式,四点线性隐格式离散：连续方程,5. 四点线性隐式格式,其 中：,简化形式：,5. 四点线性隐式格式,动量方程,5. 四点线性隐式格式,代入动量方程化简得,5. 四点线性隐式格式,其中系数为,5. 四点线性隐式格式,为书写方便，忽略上标n+1，任一河段差分方程写成： 其中均由初值计算，所以方程组为常系数线性方程组。对一条具有L2-L个河段的河道，有2(L2-L+1)个未知变量，可以列出2(L