四中国古代数学家.ppt

1、,中国古代数学家 刘徽,1.刘徽生平简介 2.刘徽著作介绍 3.刘徽数学成就 4.刘徽的贡献和地位,刘徽生平： (生于公元250年左右)，东汉三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。,返回,著作：,刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有： 九章算术注10卷；,返回,重差术1卷，至唐代易名为海岛算经； 九章重差图l卷，可惜后两种都在宋代失传。,数学成就：,刘徽的数学成就大致为两方面： 一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现

2、在九章算术注中。它实已形成为一个比较完整的理论体系 二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见,返回,在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。 在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。,在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，

3、建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。,返回,割圆术与圆周率 他在九章算术圆田术注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。 刘徽原理 在九章算术

4、阳马术注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。,“牟合方盖”说 在九章算术开立圆术注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 方程新术 在九章算术方程术注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。 重差术 在白撰海岛算经中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在1516世纪才开始研究两次测望的问题。,返回,刘

5、徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。,退出,返回,返回,返回,刘徽割圆术原文图,“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣 ” 这可视为中国古代极限观念的佳,返回,15,刘徽九章算术注（公元263年）不仅在整理古代数学体系和完善古算 理论方面取得了重要成就，而且提出了丰富多彩的创见和发明。 九章算数圆田术：圆面积=半周长半径 刘徽圆田术注 约1800字 后世称 “割圆术”,16,一份珍贵的文化遗产,割圆术这篇千古奇文提供了一个绝好的机会 让今人亲眼瞧一瞧

6、刘徽这位古代数学泰斗 在1800年前 是怎样实施一项伟大的计算工程 进而提炼出割圆术这个千古绝技的,用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 简单的重复生成复杂,“割圆术”的含义,所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。,刘徽“割圆术”的主要内容和根据,第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。,第二，作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的边长。根据勾股定理，从圆内接正n边形每边的长，可以求出圆内接正2n边形每边的长。,第三，从圆内接正n边形每边

7、的长，可以直接求出圆内接正2n边形面积。如图所示，四边形OADB的面积等于半径OD和正n边形边长AB乘积的一半。,第四，圆面积S满足不等式 S2nSS2n（S2nSn）。,如图所示，四边形OADB的面积和OAB的面积的差等于以AD和DB为弦的两个直角三角形面积，而OADB的面积再加上这样两个直角三角形的面积，就有一部分超出圆周了。,第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（九章算术方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。,刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相

8、继算出正十二边形，正二十四边形，以至于正九十六边形每边的长，并且求出正一百九十二边形的面积。 这相当于求得=3.14 1024。他在实际计算中，采用了=157/50=3.14 ， 不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正三千零七十二边形的面积，验证了前面的结果，并且得出更精确的圆周率值=3927/1250=3.1416,24,割圆计算的刘徽算法,动态的二分演化过程 (倍增过程) 取 递推计算 证明基于勾股定理 1800年前 用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序,刘徽“割圆术”的意义,刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当时

9、世界上也是很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家阿基米德（前287前212）用圆内接和外切正多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵的。,26,扑朔迷离的千古疑案,公元 5 世纪 南北朝祖冲之 准确到小数点后 7 位 称雄千年的一项数学成就 祖冲之算法称“缀术” 缀术千年失传 中国古代最辉煌的数学成就 竟是一桩千古疑案,圆周率,推测祖冲之可能也是沿用了“割圆术”，计算到圆内接正24576=6212边形，即可得祖冲之的结果。,28,刘徽的奇思再研究,双侧逼近 立足于偏差 加速逼近 关键在于松弛因子 的选择 刘徽适当选取 考察加速公式 其中数据 很粗糙 阿基米德早已掌握,29,神奇玄妙的千古绝技,刘徽令 并取半径100寸 求得 故有 刘徽据此断定 用极其粗糙的数据加工出高精度的结果,石破天惊的伟大成就,30,破解“缀术”之谜,刘徽加速技术 祖冲之算法自称“缀术” 汉字 “缀” 有两层涵义 缀合 即 组合 缀补 即 修补 校正 结论