2012届高考数学第一轮总复习 2-5函数的奇偶性与周期性经典实用学案（PPT） 新人教版

1、基础知识 一、函数的奇偶性 1一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内每一个x，都有f(x) ，那么函数f(x)就叫奇函数；都有f(x) ，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是 (大前提),f(x),f(x),关于原点对称的,2函数可分为(按奇偶性)： 、 、 、 任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x),奇函数,偶函数,既奇,且偶函数,非奇非偶函数,3基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 (分母不为零) 奇函数的反函数是 ，若奇函数的定义域包含0时，则 . 4图象特征：奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于

2、 对称；反之亦然,奇,偶,偶,偶,偶,偶,奇函数,f(0)0,原点,y轴,5判定方法：首先看函数的 ，若对称，再看： f(x)是奇函数f(x) f(x)f(x) 图象 对称； f(x)是偶函数f(x) f(x)f(x) f(x)f(|x|) 图象关于 对称,定义域是否关于原点,对称,f(x),0,1(f(x)0),关于原点,f(x),0,1(f(x)0),f(x),y轴,6推广：yf(ax)是偶函数f(ax) f(x) f(x)关于 对称；类似地，f(ax)f(bx)f(x)关于x 对称 yf(bx)是奇函数f(bx) f(x)关于 成中心对称图形；类似地，f(ax)f(bx)f(x)关于(

3、，0)中心对称,f(ax),f(2ax),xa,f(bx),(b,0),7一些重要类型的奇偶函数： 函数f(x)axax为 函数，函数f(x)axax为 函数； 函数f(x) (a0且a1)为 函数； 函数f(x)loga为 函数； 函数f(x)loga(x)为 函数,奇,奇,奇,奇,偶,二、函数的周期性 1对于函数f(x)，如果存在一个 常数T，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的 如果所有的周期中存在一个 ，那么这个 就叫f(x)的最小正周期 2周期函数 有最小正周期，若T0是f(x)的周期，则kT(kZ，k0)也一定是f(x)的周期，周

4、期函数的定义域无 界,非零,每一个,f(xT)f(x),周期,最小的正数,最小正数,不一定,上、下,3设a为非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa)f(xa)，则f(x)是 函数， 是它的一个周期(上述式子分母不为零),周期,2a,若f(x)同时关于xa与xb对称(ab)，则f(x)是周期函数， 是它的一个周期；若f(x)关于xa对称同时关于点(b,0)对称(b0)，则f(x)是一个周期函数，周期T ；若f(x)关于(a,0)对称同时关于(b,0)对称，则f(x)是一个周期函数，周期T

5、,2(ba),4(ba),2(ba),易错知识 一、分段函数的奇偶性判断失误 1函数f(x) 的奇偶性为_ 答案：偶函数,二、判断函数奇偶性时忽视了定义域 2函数f(x)x21，x(1,3的奇偶性为_ 答案：非奇非偶函数 3函数f(x) 的奇偶性为_ 答案：奇函数,三、错误认为对于奇函数总有f(0)0. 4设f(x) 是奇函数，(a，b，c Z)且f(1)2，f(2)3，则a_，b_，c_. 答案：110,四、偶函数和周期函数的概念理解错误 5已知函数yf(x)满足条件f(x1)f(x1)，且当x1,0时，f(x)3x ，则f(log 5)的值等于_ 答案：1,五、奇、偶函数的性质应用失误 6

6、设f(x)、g(x)都是R上的奇函数，x|f(x)0 x|4x10，x|g(x)0 x|2x5，则集合x|f(x)g(x)0的解集为_ 答案：(5，4)(4,5),解析：f(x)，g(x)都是奇函数，f(x)g(x)是偶函数，由对称性可知，只需求f(x)0，g(x)0的解集， 由条件可知：f(x)0的解集为(4,10)，g(x)0的解集为(2,5)， 的解集为(4,5)， 故f(x)g(x)的解集为(5，4)(4,5) 失分警示：此解错在忽视“f(x)，g(x)都是奇函数，因而f(x)g(x)是偶函数”的性质运用，导致结论出错,回归教材 1下列函数中奇函数有() f(x)x2，(xR)f(x)

7、3x5，x(0，) f(x)x3x，xRf(x)lgx3，x(0，) A0个B1个C2个D3个 解析：由函数奇偶性的定义可知f(x)x3x是奇函数，故选B. 答案：B,2若yf(x)，xR是奇函数，则下列各点一定在函数yf(x)的图象上的是() A(a，f(a)B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 解析：yf(x)，xR是奇函数，f(x)f(x) f(a)f(a) 故选D. 答案：D,3(2008辽宁卷)若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a() A2 B1 C1 D2 答案：C,4定义在R上的奇函数yf(x)，它的周期为T(T0)，则f( )_. 解析：f( )f( ) 又f

8、( )f(T )f( ) 故f( )0. 答案：0,5(2009重庆，12)若f(x) a是奇函数，则a_. 解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)， 答案：,【例1】判断下列函数的奇偶性,命题意图本题主要考查对函数奇偶性定义的理解 解答(1)由 0，得定义域为1,1)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数,(3)当x0，则 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 当x0时，x0则 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 对任意x(，0)(0，) 都有f(x)f(x) 故f(x)为偶函数 另解：画函数f(x) 的图象图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数 f(x)还可写成f(x)x2|x|故为

9、偶函数,(5)函数f(x)的定义域为R 当a0时，f(x)f(x) f(x)是偶函数 当a0时，f(a)a22，f(a)a22|a|2 f(a)f(a)，且f(a)f(a)2(a2|a|2) 2(|a|)20 f(x)为非奇非偶函数,总结评述第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断；第三，利用定义域进行等价变形判断第四，分段函数应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断,判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)|x|(x21)；,解析：(1)此函数的定

10、义域为R. f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)， f(x)是偶函数 (2)此函数的定义域为(0，)，由于定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (3)函数ylg 的定义域为(1,1)，f(x)lg lg( )1lg f(x)，此函数为奇函数.,【例2】(2009北京海淀区期中练习)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x5)f(x)，若f(2)1，f(3)a，则() Aa3 Ca1 解析f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又f(x)为奇函数，f(2)f(2)，又f(2)1，a1，选择C. 答案C,设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关

11、于直线x 对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_. 解析：f(x)在R上为奇函数， f(x)f(x)，且有f(0)0. 又yf(x)的图象关于x 对称， f( x)f( x)，,f(1x)f ( x) f ( x) f(x)f(x) f(2x)f(1x)f(2x)f(x) 函数的周期为2，且f(1)0. f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0. 答案：0 总结评述：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性等函数性质.,【例3】(2009朝阳模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x1对称 (1)求f(0)的值； (2)证

12、明函数f(x)是周期函数； (3)若f(x)x(0x1)，求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象,解析(1)因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，又f(x)的定义域为R，令x0，则f(0)f(0)，所以f(0)0. (2)证明：因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x) 又f(x)关于直线x1对称，所以f(x)f(2x)， 即f(x2)f(x) 所以f(x4)f(x2)2f(x2) f(x)f(x) 所以f(x)是以4为周期的周期函数.,(3)解：设1x0，则0x1，所以f(x)x，又f(x)f(x)， 所以当1x0时，f(x)x，即f(x

13、)x.又因为f(0)0， 所以当1x1时，f(x)x. 当1x3时，3x1，则12x1， 所以f(2x)2x，而f(x)关于直线x1对称， 所以f(2x)f(x)，所以f(x)2x(1x3)，,则f(x) 则f(x) 总结提示(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(ax)f(ax)，则函数f(x)的图象关于直线xa对称，反之也成立,函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3

14、，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围,解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0. (2)令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)解得f(1)0. 令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)f(x)为偶函数,(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3. 又f(3x1)f(2x6)3 即f(3x1)(2x6)f(64)(*) f(x)在(0，)上是增函数， (*)等价不等式组 或,即 或 3x5或,总结评述：这种利用函数满足某一等式，判断其奇偶性问题，主要是利用取特殊值法，如本题中可令x11，x2x，使式子中出现f(x)与f(x)，然后再一步步地考虑还需求f(1)，f(1)，仍然用取特殊值法求解抽象函数不等式，主要是利用函数的单调性再结合函数其他性质脱去符号“f”,1奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首先要看其定