LMI工具箱介绍——俞立.ppt

1、三、LMI工具箱介绍,由“现代控制理论概述”部分，我们知道判别一个系统 的稳定性归结为求解关于矩阵P的线性矩阵不等式 ATP + PA =Q 0则系统稳定。,要确定一个线性矩阵不等式系统，需要以下2步 (1) 定义每个矩阵变量的维数和结构. (2) 描述每个LMI中各个项的内容.,setlmis()或setlmis(lmiso),lmisys=getlmis,以getlmis结束,以setlmis开始,X=lmivar(type, struct),用lmivar定义矩阵变量,lmiterm(),用lmiterm描述LMI的每项,3.1 用LMI工具箱描述一个线性矩阵不等式系统,(1) 定义对称

2、块对角结构的矩阵变量X时，,struct 是r2维矩阵，该矩阵第 i 行是(m, n),X=lmivar(type, struct) 用lmivar定义矩阵变量,type = 1；,其中m是Di 的阶次, 1 表示Di 是一个满的对称矩阵； 0 表示Di 是一个数量矩阵； 1 表示Di 是一个零矩阵；,例：如何定义如下矩阵变量 若X是一个33维的对称矩阵,则用X = lmivar(1, 3 1)来定义。, 若,，其中D是55 维对称矩阵，,d1 和 d2 是两个标量，I2 是22维的单位矩阵，,则用X = lmivar(1, 5 1; 1 0; 2 0)来定义。,(2) 定义长方型结构的矩阵变

3、量X 时， 则type = 2；struct = m, n表示矩阵的维数.,例, 如何定义一个24维的对称矩阵变量X？,X= lmivar(2, 2 4),(3) 定义其他结构的矩阵变量X时, X的每个元是0或xn , 其中xn是第n个决策变量，则type = 3；,struct是与变量X同维的矩阵, 第i行第j列是 0 如果X(i, j) = 0； n 如果X(i, j) = xn ； n 如果X(i, j) = xn ；,%1# LMI lmiterm(1 1 1 X, 1, A, s ) lmiterm(1 1 1 S, C, C) lmiterm(1 1 2 X, 1, B) lmit

4、erm(1 2 2 S, -1, 1) %2# LMI lmiterm(-2 1 1 X, 1, 1) %3# LMI lmiterm(-3 1 1 S, 1, 1) lmiterm(3 1 1 0, 1),描述属于第几个不等式， 不等号的小边+，大边.,描述该项所在块的位置, 0块不描述; 对称的块只描述一次.,描述该项是变量还是常数.,变量的左系数、右系数.,可选项, 只能是s , 描述转置.,lmiterm的格式,以 为例。,使用LMI工具箱描述,其中XR66 和 S = DTDR 44，,则,定义2个矩阵变量,X = lmivar(1, 6 1) S = lmivar(1, 2 0;2

5、 1),setlmis() X=lmivar(1, 6 1) S=lmivar(1, 2 0;2 1) %1# LMI lmiterm(1 1 1 X, 1, A, s ) lmiterm(1 1 1 S, C, C) lmiterm(1 1 2 X, 1, B) lmiterm(1 2 2 S, -1, 1),%2# LMI lmiterm(-2 1 1 X, 1, 1) %3# LMI lmiterm(-3 1 1 S, 1, 1) lmiterm(3 1 1 0, 1) lmisys=getlmis,LMI工具箱提供了用于求解3类问题的LMI求解器.,1、可行性问题 寻找一个xRN, 使

6、得满足LMI A(x) B(x) 相应的求解器是feasp. 一般表达形式 tmin, xfeas=feasp(lmisys, options, target) 原理：通过求解如下的辅助优化问题 min t s.t. A(x)B(x) tI 来求解线性矩阵不等式系统lmisys的可行性问题.,3.2 线性矩阵不等式求解器,求解器的2个输出量: tmin : 前述凸优化问题的全局最优值： tmin 0, 则系统lmisys是不可行的； xfeas : 系统lmisys可行时, 给出一个可行解, 用dec2mat提取出该可行解. 求解器的3个输入量: lmisys : 如前所述; target :

7、 可选, 为tmin设置目标值, 只要tmin target, 优化迭代过程就结束. target = 0是默认值. options : 可选量, 5维向量, 描述求解参数, 见资料.,求解器feasp tmin, xfeas=feasp(lmisys, options, target),例：求满足 P I 的对称矩阵P , 使得 A1T P + PA1 0, A2T P + PA2 0, A3T P + PA3 0 其中,解: 新建feaspexample.m文件.,function mainfunction clc; % 清屏 A1=-1 2;1 -3; % 输入已知矩阵 A2=-0.8

8、1.5;1.3 -2.7; A3=-1.4 0.9;0.7 -2; setlmis() % 开始设置系统框架,P=lmivar(1, 2 1) % 定义矩阵变量 lmiterm(1 1 1 P, 1, A1, s ) % 1# LMI lmiterm(2 1 1 P, 1, A2, s ) % 2# LMI lmiterm(3 1 1 P, 1, A3, s ) % 3# LMI lmiterm(-4 1 1 P,1,1) % 4# LMI: P lmiterm(4 1 1 0,1) % 4# LMI: I lmisys=getlmis % 完成系统框架设置 tmin,xfeas=feasp(

9、lmisys); % 求可行解 PP=dec2mat(lmisys,xfeas,P) % 提取解矩阵,运行结果：,2、具有LMI约束的一个线性目标函数的最小化问题 minx cTx s.t. A(x) B(x) 相应的求解器是mincx. 一般表达形式 copt, xopt=mincx(lmisys, c, options, xinit, target),求解器的2个输出量: copt : 目标函数值cTx的全局最优值； xopt : 最优解, 可用dec2mat提取相应的矩阵变量. 求解器的5个输入量: lmisys : 如前所述; c : 已知向量; options : 可选量, 5维向量

10、, 描述求解参数, 见资料.,2、具有LMI约束的一个线性目标函数的最小化问题 minx cTx s.t. A(x) B(x) 相应的求解器是mincx. 一般表达形式 copt, xopt=mincx(lmisys, c, options, xinit, target),求解器的5个输入量: xinit : 可选, 最优解xopt的一个初始猜测. 当输入值不 是可行解时, 将被忽略; 否则可能加快求解过程. target : 可选, 是目标函数的一个设定值, 当cTxtarget, 求解过程结束.,例：考虑优化问题 minX Trace (X) s.t. AT X + XA + XBBTX

11、+ Q 0, 其中X是一个对称的矩阵变量，,解: 根据Schur补性质，上述优化问题等价于,新建mincxexample.m文件：,function mainfunction clc; % 清屏 A=-1 -2 1;3 2 1;1 -2 -1; % 输入已知矩阵 B=1;0;1; Q=1 -1 0;-1 -3 -12;0 -12 -36; setlmis() % 开始设置系统框架 X=lmivar(1,3 1); % 定义矩阵变量 lmiterm(1 1 1 X,1,A,s); % 1# LMI lmiterm(1 1 1 0,Q); lmiterm(1 1 2 X,1,B); lmiterm

12、(1 2 2 0,-1); lmisys=getlmis; % 完成设置系统框架,n=decnbr(lmisys); % 得到lmisys系统变量个数 c=zeros(1,n); % 为变量c预设存储空间 for j=1:3 % 循环命令求系数c Xj=defcx(lmisys,j,X); c(j)=trace(Xj); end options=1e-5,0,0,0,0; % 精度要求 copt,xopt=mincx(lmisys,c,options); % 求可行解 Xopt=dec2mat(lmisys,xopt,X) % 提取解矩阵,运行结果：,3、广义特征值的最小化问题 min l s

13、.t. C(x) D(x) 0 B(x) A(x) lB(x) 相应的求解器是gevp. 一般表达式如下 lopt, xopt=gevp(lmisys, nlfc, options, linit, xinit, target),求解器的2个输出量: lopt : 优化问题的全局最优值； xopt : 最优解, 可用dec2mat提取相应的矩阵变量. 求解器的6个输入量: lmisys : l = 1时的约束条件, 如前所述; nlfc : 含l的约束的个数已知向量;,3、广义特征值的最小化问题 min l s.t. C(x) D(x) 0 B(x) A(x) lB(x) 相应的求解器是gevp

14、. 一般表达式如下 lopt, xopt=gevp(lmisys, nlfc, options, linit, xinit, target),求解器的6个输入量: options : 可选量, 5维向量, 描述求解参数, 见资料. linit, xinit : 可选, 初始猜测linit=l0, xinit=x0不是可行 解时, 将被忽略; 否则可能加快求解过程. target : 可选, 只要可行解(l, x)满足ltarget, 结束.,调用求解器gevp是须遵循以下规则 确定包含l的LMI A(x) B(x) 即l = 1的情况； 总把A(x) B(x)放在lmisys的最后； 要求有约

15、束0 B(x), 或保证0 B(x)成立的任何其他约束。 例：求解 ，A1A2A3见ppt第11页。,解：新建gevpexample.m文件：,function mainfunction clc; % 清屏 A1=-1 2;1 -3; % 输入已知矩阵 A2=-0.8 1.5;1.3 -2.7; A3=-1.4 0.9;0.7 -2; setlmis() % 开始设置系统框架 P=lmivar(1,2 1); % 定义矩阵变量 lmiterm(1 1 1 0,1); % PI I lmiterm(-1 1 1 P,1,1); % PI P lmiterm(2 1 1 P,1,A1,s); % 1# lhs lmiterm(-2 1 1 P,1,1); % 1# rhs, alpha = 1,lmiterm(3 1 1 P,1