数值分析复习2012

1、数值分析(2012 ),Ex1.证明方程 1 x sin x = 0 在区间0，1上有一根。使用二分法求误差不大于0.510-4的根需二分多少次？,Ex2.设x* 是非线性方程 f(x) = 0 的单根，证明在牛顿迭代法中，有,Ex3.设a为正实数，试建立求(1/a)的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式产生的数列 xn 的收敛性 .,Ex4. 分析下列方程，确定方程的全部隔根区间 （1）x sin x = 1；（2）sin x e -x =0； （3）x = tan x；（4）x2 e-x =0。,Ex5. 对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满足方程。如

2、果，则根据隐函数存在定理，在点x0附近有函数y =y(x)，对于接近于x0的自变量x，试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。,Ex6.设割线法迭代数列 xn 收敛到非线性方程 f(x) = 0 的单根x*。利用牛顿插值公式计算,Ex6.证明对任意的x00, 由迭代格式 ( n = 0, 1, ) 产生的迭代序列 xn, 均收敛于 - 。,Ex8.对于复变量 z = x + i y 的复值函数 f(z)，应用牛顿迭代公式求方程f(z) = 0 的复根时，有迭代公式,为了避开复数运算,令 zn = xn + i yn, f(zn) = An+ iBn，f(zn) = Cn+iDn 试证明用于计算

3、的公式,Ex9.确定求解方程 f(x) = 0 的割线法计算公式,(n = 0, 1, 2 , ),Ex10.证明矩阵A的谱半径与A的范数有如下关系 (A) | A | 其中，| A |为A的任何一种算子范数。,的收敛阶,Ex 11. 对下列矩阵做LU分解,Ex 12 求上三角(下三角)矩阵的条件数,Ex13.对任意x，yRn，利用向量范数的三角形不等式证明：,Ex14.设 XR ,X = (x1，x2，xn )T，求证,Ex15.设X是n维向量,A是nn阶矩阵.求证:,Ex17.有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵,且有迭代公式,讨论使迭代序列收敛的 的取值范围.,Ex16.对n 阶矩阵

4、A,设A的顺序主子式都不为零,试证明消元过程中出现的Frobenius矩阵有如下性质,Ex18.设有方程组 Ax = b，其系数矩阵主对角元 aii 0 ( i = 1，2，n ) 证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是,的根满足| 1。,Ex 19. 设A是对称矩阵，将A分裂为A = D L U。Gauss-Seidel迭代格式的向前和向后两种形式分别为 x(k+1) = x(k) + (D L )-1(b A x(k) ) x(k+1) = x(k) + (D U )-1(b A x(k) ) 如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有 x(k+2) = x(k) + M-1(b A

5、 x(k) ) 试证明：M-1= (D U)-1D(D L)-1。,Ex 20 设h = 1/(n+1)，分析n阶矩阵的Jacobi迭代矩阵特征值,Ex21. 将拉格朗日二次插值的三个基函数,分别展开成幂函数形式,试分析矩阵,的数学意义，该矩阵是否可逆？,Ex22. 求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式,Ex 23. 已知函数y = f(x)的数据如下表,确定三次插值多项式P3(x)及其插值误差R(x),Ex24.求证:两点Hermite插值的误差,Ex25已知函数f(x) 在三个相异结点 x0，x1，x2，处的函数值 y0，y1，y2，且函数在点x1处的导数值为

6、m1，推导三次插值多项式P(x)及其插值余项R(x)的表达式,Ex 26.已知实验数据如下：,求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2,Ex 27 利用数据表,求线性拟合函数P(t) = a0 + a1t 的常数项系数a0。,Ex28*.最小二乘逼近与最小平方逼近的关系,在区间0，1上取m+1个等距点 ( k = 0，1，2，m ) 对抛物线 y=x2 做线性拟合.试证明当 时， 线性拟合函数 为平方逼近问题,的解。,Ex29.推导左矩形求积公式,Ex30. 求复合中矩形公式 的截断误差,Ex31.取h=(b a)/3，令x0= a，xj= a + jh （j =0，1，2，3）。利

7、用两点插值公式求下面开型数值求积公式的系数A1、A2,Ex32.给定积分 当要求误差小于10-3时用复合梯形公式计算时, 需要计算多少次函数值？,Ex33. 验证，复合梯形公式与复合Simpson 公式之间有如下关系,Ex34.试推导数值微分公式,的截断误差。,Ex36.证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程 y=2a x 试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明,Ex35. 设函数f(x)在区间a，b上具有五阶连续导函数。取h=(b a)/n，令x0= a，xj= a + jh。求证，下面数值二阶导数的差分格式具有4阶精度,Ex 37. Adamas公式求一阶常微分方程，两步显格式和隐格式,yn+2 = yn+1 + h3f(xn+1，yn+1) f(xn，yn)/2； yn+2=yn+1+h5f(xn+2, yn+2)+8f(xn+1, yn+1) f(xn, yn)/12,Ex38.初值问题有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取 xn =