第十二章-平稳随机过程.ppt

1、1,12.1 平稳随机过程的概念,在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的发生有着很强的影响. 有这样一类随机过程, 即所谓平稳过程, 它的特点是: 过程的统计特征不随时间的推移而变化.严格地说,有下面的定义.,2,平稳随机过程的定义,定义1 设X(t), t T 是随机过程，如果对任意常数 h 和正整数 n， t1, t2, tnT, t1+h, t2 +h,tn+h T， 若(X(t1), X(t2), X(tn)与 (X(t1+h), X(t2 +h), X(tn+h) (1.1) 有相同的分布函数，则称X(t)，t T 为平稳随机过程，或

2、简称平稳过程.,3,在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并用它来判定其平稳性,一般是很难办到的. 但是, 对于一个被研究的随机过程, 如果前后的环境和主要条件不随时间的推移而变化, 则一般就可以认为是平稳的. 恒温条件下的热噪声电压过程; 强震阶段的地震波幅; 船舶的颠簸过程; 照明电网中电压的波动过程; 各种噪声和干扰等等.,4,平稳过程数字特征的特点. 设平稳过程X(t)的均值函数EX(t)存在. 对n=1, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性定义, X(t1)和X(0) 同分布. 于是 EX(t) = EX(0), 记为 同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数,

3、 分别记为 和 依照图10-4的意义, 可以知道,平稳过程的所有样本曲线都在水平直线 上下波动, 平均偏离度为,5,又若平稳过程X(t)的自相关函数 RX(t1, t2 ) = EX(t1) X(t2) 存在. 对n = 2, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性定义, (X(t1), X(t2)与(X(0), X(t2 - t1) 同分布. 于是 RX(t1, t2 ) = EX(t1)X(t2) = EX(0)X(t2 - t1). 记为 RX(t1, t2 ) = RX(t2 - t1) 或 RX(t, t + ) = EX(t)X(t +) = RX( ) . 这表明:平

4、稳过程的自相关函数是时间差t2 - t1 = 的单变量函数.,6,由第十章(2.7)式, 协方差函数: CX(t1, t2 ) = EX(t1) - X(t1)X(t2) - X(t2) = RX(t1, t2 ) - X(t1)X(t2). 那么, 协方差函数可以表示为: CX() = EX(t) - XX(t +) - X = RX() - X 特别地, 令 =0,由上式,有,7,定义2 给定二阶矩过程X(t), t T , 如果 对任意 t, t + T EX(t) = X (常数), EX(t) X(t +) = RX( ), 则称X(t), t T 为宽平稳过程, 也称广义平稳过程.

5、 简称平稳过程. 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程. 一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也是宽平稳过程. 但反过来, 一般是不成立的. 特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳. 泊松过程和维纳过程是非平稳过程.,8,若T为离散集, 称平稳过程X(t), t T 为平稳序列. 广义平稳过程 严平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程,正态过程,二阶矩存在,9,例1 设Xk , k = 1,2,是互不相关的随机变量序列, EXk = 0, EXk = , 则有 即相关函数只与k-l有关, 所以它是宽平稳的随机序列. 如果X1 , X

6、2 , Xk ,又是独立同分布的, 则易证序列也是严平稳的.,10,例2 设s(t)是一周期为T的函数, 是在(0,T)上服从均匀分布的随机变量, 称X(t) = s(t + )为随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性. 解 由假设, 的概率密度为 于是, X(t)的均值函数为,11,利用s()的周期性, 可知 而自相关函数,12,同样, 利用s() s( + )的周期性, 可知自相关函数 仅与有关, 即 所以, 随机相位周期过程是平稳的. 特别,随机相位正弦波是平稳的.(第十章2例2).,13,例3 X(t) =Ycos(t)+Zsin(t), t 0, Y, Z相互独立, E(Y) = E(

7、Z) = 0, D(Y) =D(Z) =2.讨论随机过程X(t), t 0的平稳性. 解,14,所以X(t), t T 为宽平稳过程.,15,例4 设 Xn, n = 0, 1, 2, 是实的互不相关随机变量序列，且E(Xn)=0，D(Xn) = 2 . 讨论随机序列的平稳性. 解 因为E(Xn) = 0， 所以, Xn, n = 0, 1, 2,是平稳随机序列.,16,例5 设状态连续、时间离散的随机过程X(t) = sin(2 t), 其中是(0, 1)上的均匀分布随机变量, t 只取整数值1, 2, ，讨论随机过程 X(t) 的平稳性. 解,17,所以X(t)是平稳过程.,18,联合平稳

8、随机过程,定义3 设X(t), t T 和Y(t), t T 是两个平稳过程，如果它们的互相关函数EX(t)Y(t +) 和EY(t)X(t +)仅与 有关, 而与 t 无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关的, 或称这两个过程是联合(宽)平稳的. RXY(t, t +) = EX(t)Y(t +) = RXY(), RYX(t, t +) = EY(t)X(t +) = RYX(). 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.,19,事实上, EW(t)= EX(t) + EY(t) = 常数.,20,例6 设X(t)=Asin(t+)，

9、Y(t)=Bsin( t + -)为两个平稳过程，其中A, B, 是常数, 是(0, 2)上的均匀分布随机变量, 证明X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程. 解,21,22,所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程.,23,12.2 各态历经性,本节主要讨论,根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法. 按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征, 不易办到. 若用统计实验的方法作近似计算: 需要对一个平稳过程重复进行大量观测.,24,随机过程积分的概念 给定二阶矩过程X(t), t T , 如果X(t), t T 它的每一个样本函数在a, b上的积分都存在, 则说随机

10、过程X(t)在a, b上的积分存在, 并记为 显然, Y是一随机变量. 在某些情况下, 对于随机过程的所有样本函数来说, 在a, b上的积分未必全都存在. 此时, 引入所谓均方意义下的积分.,25,均方意义下的积分 考虑a, b内的一组分点: 的随机变量Y存在, 则称Y为X(t)在a, b上的均方积分, 并记为,26,可以证明: 二阶矩过程X(t)在a, b上均方积分存在的充分条件是相关函数的二重积分 存在. 而且此时还成立有 就是说,过程X(t)的积分的均值等于过程的均值函数的积分.,27,定义1 设X(t), t T是均方连续的平稳过程，则时间均值: 时间相关函数: 可以沿用高等数学中的方

11、法求积分和求极限, 其结果一般来说是随机的.,时间均值和时间相关函数,28,例1 计算随机相位正弦波X(t) = acos(t+)的时间平均和. 解,29,将例1的结果与第十章2例2算得的结果比较, 可知 X = EX(t) = , RX () = EX(t)X(t+)= . 这表明: 对于随机相位正弦波, 用时间平均和集中平均分别算的均值和自相关函数是相等的. 这一特征并不是随机相位正弦波所独有的. 下面引入一般概念.,30,定义2 设X(t), t T是一平稳过程， 1如果 = EX(t) = X 以概率1成立,则称过程X(t)的均值具有各态历经性. 2如果对任意实数, = EX(t)X(

12、t+)= RX () 以概率1成立,则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性. 特别当 = 0 时, 称均方值具有各态历经性. 3如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性, 则称X(t)是(宽)各态历经过程, 或者说X(t)是各态历经的.,31,例2 讨论随机过程 X(t) = Y 的各态历经性, 其中Y 是方差不为零的随机变量. 解 X(t) = Y 是平稳过程, EX(t)=EY=常数,32,33,定理一 （均值各态历经定理）平稳过程 X(t) 的均值具有各态历经性的充要条件是,34,推论 在 存在的条件下, 若 则(2.1)式成立, 均值具有各态历经性; 若 则(2.1)式不成立

13、, 均值不具有各态历经性. 注意 对例1中的随机相位正弦波而言, 不存在, 但它的均值是各态历经的.,35,定理二 (自相关函数各态历经定理）平稳过程 X(t) 的自相关函数RX ()具有各态历经的充要条件是 其中 在(2.2)式中令 = 0, 就可得到均方值具有各态历经的充要条件. 如若在定理二中以X(t)Y(t+ )代替 X(t)X(t+ ), RX ()代替RX Y()来进行讨论, 那么还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理.,36,在实际应用中通常只考虑定义在0 t +上的平稳过程. 此时上面的所有时间平均都以0 t +上的时间平均来代替. 而相应的各态历经定理可以表示为下述的形式:

14、 定理三,37,定理四,38,各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证: 一个平稳过程 X(t), 若0 t +, 只要它满足条件(2.1)和(2.2), 便可以根据“以概率1成立”的含义, 从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数, 即,39,如果记录数据 x(t) 只在时间区间0, T上给出, 则相应于(2.3)和(2.4)式, 有以下无偏估计式:,40,在实际中一般不可能给出x(t)的表达式, 因此通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式(2.5)和(2.6). 1 模拟自相关分析仪. 这种仪器的功能是当输入样本函数x(t)时, X-Y记录仪自动描

15、绘出自相关函数的曲线. 它的方框图如下图所示.,41,2 数字方法 如下图, 把0, T等分为N个长为 的小区间, 然后在时刻 对x(t)取样, 得N个函数值xk = x(tk), k = 1,2,N. 把积分(2.5)近似表示为基本区间t上的和, 就有无偏估计:,42,相应于(2.6)式, 我们可以写出在r= rt时, 自相关函数的无偏估计: 由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值, 从而拟合出自相关函数的近似图形.,43,12.3 相关函数的性质,假设X(t)和Y(t)是平稳过程, RX (), RY ()和RXY ()分别是它们的自相关函数和互相关函数. 1 因为 RX () = EX

16、(t) X(t + ) 2 RX (-) = RX (), 即RX (-)是 的偶函数. 而互相关函数既不是奇函数, 也不是偶函数, 但满足 RXY (-) = RYX (),44,3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式: |RX ()| RX (0) 和 |CX ()| CX (0) = X 此不等式表明: 自相关 (自协方差) 函数在 = 0处取到最大值. 类似地, 可以得到: |RXY ()| RX (0)RY (0) 和 |CXY ()| CX (0)CY (0) 标准自协方差函数和标准互协方差函数:,45,4 RX ()是非负定的, 即对任意t1 , t2 , , tn T和任意实

17、值函数g(t), 都有 事实上, 根据自相关函数的定义和运算性质, 有,46,5 如果平稳过程X(t)满足 PX(t+T0) = X(t) = 1, 则称它为周期 T0 的平稳过程. 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数, 且其周期也是T0. 事实上, 由平稳性, EX(t) X(t+T0) = 0. 又根据第四章2方差的性质, 条件 PX(t+T0) = X(t) = 1 与 EX(t+T0) X(t) = 0 等价. 于是, 由柯西施瓦兹不等式, 得 EX(t)(X(t + T0) X(t + ) EX(t)EX(t + T0) X(t +) 右端为零, 推知 EX(t)X(t + T0)

18、 X(t +) = 0. 展开即得 RX(+ T0) = RX().,47,一个应用例子. 设某接受机的电压 V(t) 是周期信号 S(t) 和噪声电压 N(t) 之和, 即 V(t) = S(t) + N(t) . 又设 S(t) 和 N(t) 是互不相关的各态历经过程, 且 EN(t) = 0. 根据第十章(2.12)式, V(t) 的自相关函数应为 RV() = RS() + RN(). 由性质5, RS()是周期函数, 又因为一般噪声电压当 | | 值适当增大时, X(t + ) 和 X(t)呈现独立或不相关, 即有 于是, 对于充分大的 值, 我们有,48,如果现在将V(t)作为自相关分析仪(如