北京工业大学线性代数第四章第一节n维向量空间.ppt

1、1,第四章 n 维向量空间,我们在第二章给出了直接从线性方程 组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组 有没有解及有多少解的判别定理。为了研 究方程组有无穷多解时解的解构，我们需 要探讨和建立线性方程组的进一步理论， 为此，引入了向量空间的概念。,2,第一节 n 维向量空间 一 n 维向量空间的概念 二向量与矩阵的关系 三向量的线性组合与线性表出,3,一 n 维向量空间的概念,一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成,的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序,数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数,组成的有序数组。,所以研究线性方程组解的结,构离不开有序数组。,1.定义:,由数域P 中n 个数组

2、成的有序数组称为,数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母,表示,4,称为行向量（行矩阵），也可以写成一列,称为列向量（列矩阵），称 ai ( bi ),(i =1，2，, n )是第i 个分量. 显然,n 维向量可以写成一行,5,向量的相等,设,零向量,所有分量都是零的向量称为零向量，记作 0=(0,0, ,0),负向量:,n 维向量,的各分量的相反数所构成的向量称为,的负向量，记作,6,2 n 维向量运算,向量的加法,数量乘法,向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算,为向量， 为数,显然,7,向量的线性运算的运算律,8,3. n 维向量空间,定义：,R 为实数域，则Rn 为n 维实向

3、量空间,R3 为3维实向量空间或3维几何空间。,Pn =数域P上的n维向量，连同定义在它上面的向量加法和数量乘法及其满足的8条运算法则一起，称为数域P上的n维向量空间。,如,9,解:,由题设条件, 有,10,二向量与矩阵的关系,若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组,例2,向量组 称为矩阵A 的列向量组,定义：,设矩阵,将A按列分块,11,向量组 称为矩阵A 的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.,12,三向量的线性组合与线性表出(示),引例：,设在R3中,则,13,1.定义:,向量组,称为组合系数;,称向量,使得,则称,为表出系数,任给,对于,若存在,线性

4、表出（示）,14, 任意一个n 维向量,都可由n 维基本向量组,2.几个特例,线性表出,且 的分量就是表出系数。,15,零向量可由任意一组向量线性表出,维,组本身线性表出,16,3维向量,能否由3维向量组,观察,线性表出？,不能！,问题：对于给定的向量组和向量如何判别线性表出？,17,设数域P上的n元线性方程组,式是线性方程组的向量表示式,分析:,3.线性表出的判别,令,则有,18,于是，线性方程组,有解,存在一组数,使得下式成立,线,线性方程组有没有解,常数项列,向量能否由系数矩阵的列向量组线性表出。,结论：,19,判断线性表出的方法：,对于给定的向量 及向量组,线,线,若方程组,无解，则,20,若方程组,有解，则,且方程组的一组解就是表出系数, 若方程组有唯一解，则,线, 若方程组有无穷多解，则,线,线,21,判断线性表出的方法：,对于给定的列向量 及列向量组,令,线,由方程组有解的判别定理，我们很容易得出,则判断,等于,22,则表示方法唯一, 若, 若,线,则表示方法不唯一，,即无穷多种表示方法,具体作法是：,将 用初等行变换化成阶梯形，,判断是否有,23,例3,判断,线性表出，并,求出表出方式。,解：,将矩阵,初等行变换：,线性表出且,24,例4,已知,为何值时，,线性表出?,解：,为何值时，,线性表出且表示法,将矩阵,初等行