微分方程模型人口增长数学模型.ppt

1、第四章：微分方程模型 第一次：人口增长数学模型,华侨大学信息系,一：实际问题：1：问题：当今人类面临五大问题,人口问题 工业化的资金问题 粮食问题 不可再生资源问题 环境问题,人口问题,（人口太多） 人均粮食不足 人均资源不足 工业化资金有限 生态平衡被严重破坏 （人口太少） 人口老化 劳动力短缺 问题：人口预测；制定政策；控制人口,2：研究情况：,1798年，MALTHUS 人口论人口呈现几何级数增长 1838年，VERHUST的logistic模型。 1924年，YULE用概率观点的模型。 1945年，LESLIE模型。 1959年，FPOERSTER连续人口模型。,3:影响人口增加的因素

2、:,人口的基数; 出生率、死亡率的高低； 人口男女比例大小；人口年龄组成情况； 工农业生产水平的高低； 营养条件；医疗条件；人口素质；环境污染等情况； 各地风俗习惯；传统观念； 自然灾害； 战争； 人口迁移。,4：问题的简化：,只考虑人口增长的主要因素-增长率及基数； 并假定人口总数是时间的连续函数，甚至可微函数。（在人口总数很大时，可近似）（离散变量连续化处理-掌握。),5：假设变量：N（t),r(t,N(t)为t时刻人口总数和增长率,6：建立模型（微元法）：在(t,t+t)这段时间内人口增长为 N(t+t)-N(t)=r(t,N)N(t)t (N(t+t)-N(t)/t=r(t,N)N(t

3、) 令t0dN/dt=r(t,N)N(t) (1),二：MALTHUS模型,1：假定：（1）式中令r(t,N)=r(常数） 2：建模：dN/dt=rN(t) (2) N(t)|t=t0=N0 (3) r(t-t0) 3: 求解： N(t)=N0e 结论：人口呈现几何级数增长,4：适应性：,（1）17001964世界人口总数增长一致。 （2）t时不再合适。,5:离散模型（见混沌）,三：logistic模型：,1：假定：r(t,N)=r-kN(t) 2:建立模型：,4：模型分析：,（3）如图：,5：模型检验： -12估计出r=0.029,k=2.941*10 每35年翻一番。17001961年世界

4、人口形势比较吻合6：模型应用：（1）：美Pearl和Reed利用Logistic模型，得出美国人口增长模型为,预测美国17901950人口情况良好（见P11表） （2）：中、法也类似。,7：模型的优缺点： （1）r,k会随着时间改变，故应每过几年重新估计一次 （2）Malthus和Logistic模型中，把人口总数看成处于同等地位的成员组成的，严格说来不对的。应对年龄分组-Leslie模型。,8：离散模型：（见混沌）,四：连续模型： 1：假设及假设变量：,（1）：设F(r,t)表示t时刻（年代）一切年龄小于r岁的人口总数称为人口函数。 性质：F(r,t)=0,t固定,r,F(r,t) 。 （2

5、）假定：当人口总数很大时， F(r,t)是r,t的连续函数且一阶偏导数连续。 （3）N(t)表示t时刻的人口总数，rm表示人类所活到的最高年龄。 性质：F(0,t)=0,F(r m,t)=F(,t)=N(t),(5)令(r,t)为t时刻年龄为r岁人的死亡率,其含义是： (r,t)p(r,t)dr 表示 t时刻年龄在 r,r+dr内单位时间死亡的人数。-由统计数字给出。,2：初步建模：不考虑各种确定的和随机因素（如战争，自然灾害，车祸）的影响，只考虑自然的生死过程。,（2）建立模型：,3：进一步建模：考虑移民、战争、自然灾害引起的人口扰动模型 设：f(r,t)drdt表示年龄在r,r+dr区间和

6、t,t+dt时间里迁入迁出的人口总数称为相对扰动密度函数（统计给出）.则模型为,4：区域模型： （1）：假设变量：,引进记号：,上述模型改写向量形式：,五：离散模型：（人口发展过程的离散模型） 1：假设变量：设Xi(t)表示t年代年龄满i周岁但不到i+1周岁的人口总数。（年龄和时间都取整数）. 2:离散上述模型：则有,得无干扰的人口发展模型的离散模型：,3：受干扰的人口发展模型的离散模型：,4：优缺点：离散模型易于计算机计算； 连续模型便于理论分析。,5：模型的检验和预测：（见P15）,参考：传染病传播的数学模型,模型一： 1：假设：（1）每个病人单位时间内传播的人数是k0； （2）一人得病后

7、，经久不息不愈，并且在传 染期内不会死亡。 2:设变量：记i(t)表示时刻t病人数，i(0)=i0.,3:建模：,5：结论：传染病的传播按指数函数增长的。 6：模型检验与修改：（1）在传染病初期结论一致；（2）t,i(t) 不合实际；原因假设中两条不合理。,模型二：（SI模型）,1：假设： （1）记i(t),s(t)表示时刻t传染病人数和未被传染人数，i(0)=i0 。 （2）每个病人单位时间内传播的人数是与这时未被传染人数成正比，即k(t)=ks(t)。 （3）一人得病后，经久不愈，并且在传染期内不会死亡。 （4）总人数n不变， i(t)+s(t)=n.,4:模型分析：,（1）当t1=ln(

8、n/i0)-1)/kn(t1为二阶导数为0的点)时，传染率最大，为传染高峰，这与实际吻合，当k，n, t1传染病高峰来得快，与实际吻合。 （2）由统计给出k，可预报传染病高峰t1 。 （3）t,i(t)n人人均生病，不合理。原因：假设（3）不合理，进一步修改。,模型三：（SIR模型）,1：假设变量及假设： 记I(t)为能够把病传染给别人的传染者； 记S(t)为并非传染者但能够得病而成为传染者的哪些人组成； 记R(t)为患病死去的人，病愈后具有免疫力的人，及病愈前被隔离的人总数。 假设：（1）易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类人数I(t)与第二类人数S(t)的乘积； （2）I(t)向R(t)转变的速率与I(t)成正比。 （3）总人数保持不变N。,2:建模：,4：模型分析：,结论：当人口拥挤，密度高，缺乏应有的科学文化知识，必要医疗条件，隔离不良