矢量分析课件3.ppt

1、第三章 曲面坐标系,第三章 曲面坐标系,1 亥姆霍兹定理,3 球面坐标系,2 圆柱坐标系,第三章 曲面坐标系,1 亥姆霍兹定理,一、散度和旋度的比较,矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个矢 量函数。 散度表示场中某点的通量源的体密度, 它是场中任一点通 量源强度的量度; 旋度表示场中某点的最大环量强度, 它 是场中任一点处旋涡源强度的量度（即旋涡源的面密 度）。,第三章 曲面坐标系,1 亥姆霍兹定理,(3) 从散度公式知, 它取决于场分量Ax对x的偏导数和Ay对y的偏导数及Az对z的偏导数, 所以, 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定; 而由旋度公式看出, 它取决于Ax分量

2、对y , z的偏导数及Ay , Az对与之垂直方向的坐标变量的偏导数, 所以, 旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。,第三章 曲面坐标系,1 亥姆霍兹定理,二、亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场 在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度以及边界条件唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即,亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。,第三章 曲面坐标系,1 亥姆霍兹定理,对两边取散度, 得,因 , 故,因 , 故,对两边取旋度, 得,简化的证明如下: 假设在无限空间中有二矢量函

3、数 和 , 它们具有相同的散度和旋度。令,所以,第三章 曲面坐标系,1 亥姆霍兹定理,同时, 一个既有散度又有旋度的一般矢量场可表示为一个无旋场 (有散度divergence)和一个无散场 (有旋度curl)之和:,对无旋场 来说, , 但这个场的散度不会处处为零。 因为, 任何一个物理场必然有源来激发它, 若这个场的旋涡源和通量源都是零, 这个场就不会存在了。 因此无旋场必然对应于有散场, 并因 , 可令(负号是人为加的)：,第三章 曲面坐标系,1 亥姆霍兹定理,对于无散场 , , 但是这个场的旋度不会处处为零, 理由同上。并因 , 可令,因此,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,柱坐标系,一

4、、圆柱坐标系,圆柱坐标中的点：,与直角坐标系中的关系：,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,柱坐标系,矢量 在柱坐标系中可用三个分量表示为,以坐标原点为起点, 指向 点的矢量 , 称为 点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中 点的位置矢量是,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,柱坐标系中的矢量 与直角坐标系 之间的关系表.,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,例1 求矢量 在柱面坐标系中的表示式.,解 在柱面坐标系中:,由表知:,于是有,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,在柱坐标中算子相应地换为,梯度,散度,旋度,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,例2 已知 .,求,于是有,解 在柱面坐标系中由:,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,例3 电场中有一半径为 的圆柱体，已知柱外的电位函数分别为,解 在圆柱坐标系中由,求柱外的电场强度,有,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,球面坐标系,二、球面坐标系,球面坐标中的点：,与直角坐标系中的关系：,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,球面坐标系,矢量 在柱坐标系中可用三个分量表示为,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,球面坐标系中的矢量 与直角坐标系 之间的关系表.,第三章 曲面坐标系,2 曲面坐标,在球面坐标中算子相应地换为,梯度,散度,旋度,第三章 曲面