2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 直观图学案 北师大版必修2

1、2直观图1.掌握斜二测画法的步骤.(重点)2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(重点、难点)3.通过观察直观图，了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征.基础初探教材整理1斜二测画法的规则阅读教材P7P8倒数第3行以上部分，完成下列问题.1.在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示水平平面.2.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段.3.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.判断(正确的打“”，错误的打

2、“”)(1)用斜二测画法画直观图时，在原图x轴上长为4的线段，在直观图中的长度为4.()(2)正方形的直观图仍是正方形.()(3)平行四边形的直观图仍是平行四边形.()(4)用斜二测画法画直观图时，平行于y轴的线段在直观图中长度减半.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2立体图形的直观图的画法阅读教材P8最后一段至P12“练习”以上部分，完成下列问题.立体图形直观图画法的“四步曲”在棱长为4 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱AD的长为_cm，棱AA1的长为_cm.【解析】在x轴上的线段长度不变，故AA14 cm

3、，在y轴上的线段变成原来的一半，故AD2 cm.【答案】24小组合作型平面图形的直观图的画法画出如图121所示水平放置的等腰梯形的直观图. 图121【精彩点拨】按照斜二测画法画水平放置的平面图形的画法步骤画直观图.【自主解答】(1)如图(1)所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，再建立如图(2)所示的坐标系xOy，使xOy45. (2)在图(2)中，以O为中点在x轴上取ABAB.(3)在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD.(4)连接BC，DA，去掉辅助线，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.如图(3)所示.1.画水平放置的平面多

4、边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定.2.要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系.再练一题1.用斜二测画法画如图122所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图. 【导学号：】图122【解】(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.(2)画对应的x轴、y轴，如图，使xOy45.在x轴上截取OBOCOB

5、OC2 cm，在y轴上取OAOA，连接AB，AC，去掉辅助线则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示.空间几何体的直观图的画法 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.【精彩点拨】本题所要画的是四棱锥的直观图，是空间图形，所以要先画底面，先画水平放置的正方形的直观图.再画侧棱，最后成图.【自主解答】画法：(1)画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图.(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的

6、部分改为虚线，得四棱锥的直观图.画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：再练一题2.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCDABCD的直观图.【解】画法：(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是

7、长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA，BB，CC，DD.(4)成图.顺次连接A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.探究共研型直观图的还原及有关计算探究1如图123是一梯形OABC的直观图OABC，OCh，图123根据直观图你知道原图形是什么吗？它有什么特点？【提示】原图形是一个直角梯形且高为2 h.探究2已知ABC的直观图如图124所示，你能求出原ABC的面积吗？你发现直观图的画与原图形面积有何关系？图124【提示】由题意，易知在ABC中，ACAB，且AC6，A

8、B3，SABC639.又SABC3(3sin 45)，SABCSABC.如图125所示，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积.图125【精彩点拨】分别以AB，BC所在的直线为x轴，y轴，画出该直观图的对应图形，然后求面积.【自主解答】如图(1)是四边形的直观图，取BC所在直线为x轴.因为ABC45，所以取BA所在直线为y轴.过D作DEAB，DE交BC于E，则BEAD1.又因为梯形为等腰梯形，所以EDC为等腰直角三角形，所以EC.再建立一个直角坐标系xOy，则O，B重合，如图(2)所示，在x轴上截取线段BCBC1，在y轴上截取线

9、段BA2BA2.过A作ADBC，截取ADAD1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形ABCD的平面图形.四边形ABCD为直角梯形，上底AD1，下底BC1，高AB2，所以S梯形ABCDAB(ADBC)2(11)2.将直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段， 且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段被还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算.再练一题3.已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2【

10、解析】如图(1)为直观图，图(2)为实际图形.取BC所在直线为x轴，过BC中点O与Ox成45的直线为y轴，过A点作ANOx，交y轴于N点，过A点作AMOy，交x轴于M点. 在直角三角形AOM中，OAa，AMO45，AMa，则AM2AMa，SABCaaa2.【答案】C1.用斜二测画法得到：相等的线段和角在直观图中仍然相等；正方形的直观图是矩形；等腰梯形的直观图仍然是等腰梯形；菱形的直观图仍然是菱形.上述结论正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】根据斜二测画法通过举反例可知，上述结论全部错误.【答案】A2.如图126所示为一个平面图形的直观图，则原四边形ABCD为()图126A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形【解析】因为DAB45，由斜二测画法规则知DAB90，又因四边形ABCD为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.【答案】D3.水平放置的ABC的斜二测直观图如图127所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为_.图127【解析】还原成原图是以3,4为直角边的直角三角形，而斜边上的中线等于斜边的一半.【答案】2.54.如图128为ABO水平放置的直观图，其中ODBD2AD，且BDy轴由图判断原三角形中AB，OB，BD，OD由小到大的顺序是_.图128【