2026年山东省青岛市中考数学试卷试题真题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2026年青岛市初中学业水平考试数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25小题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．第Ⅰ卷（共27分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1．的绝对值为（

）A． B． C． D．2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（

）A． B． C． D．4．我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了科学基础．“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记数法表示为（

）A． B．C． D．5．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．6．为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（

）A． B．C． D．9．如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（

）．A． B． C． D．第Ⅱ卷（共93分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）10．计算：＝________．11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________．12．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________．13．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________．14．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．15．我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）．三、作图题（本大题满分4分）16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，．求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等．四、解答题（本大题共9小题，共71分）17．解不等式组、计算(1)解不等式组：(2)计算：．18．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平．19．为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长（单位：小时）均不高于小时．【收集数据】所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下：，，，．【整理数据】所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下：分组组（）组（）组（）组（）人数【描述数据】所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图如下：所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图

所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图根据以上信息，解决下列问题：(1)补全频数直方图；(2)所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为________小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为________小时；(3)扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角度数为________；(4)该校共有名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生人数．20．如图是某公园的部分平面示意图，环湖观景路线由木栈道和圆弧形观景步道组成，，分别表示观景亭和喷泉．点，，在同一直线上，且点是所在圆的圆心，，米．在处测得，，在处测得，求，两点间的距离（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，）21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，．(1)求点的坐标；(2)求直线与轴的交点的坐标；(3)根据图象，直接写出当时的取值范围．22．已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．23．根据以下探究完成相关题目：(1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考：如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个；如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个；(2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个；(3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个．24．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表：产量（万件）…151820…总成本（万元）…285336360…（总利润=总销售额－总成本）(1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式；(2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？(3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？25．如图，在矩形中，，．动点从点开始沿对角线以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．与相交于点，是的中线，连接．点和点同时出发．设动点的运动时间为（）．解答下列问题：(1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值；(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻，使的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．C【详解】解：．2．D【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误，不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，选项错误，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项正确，符合题意．3．B【详解】解：由图可知，其左视图如图所示：．4．C【详解】解：．5．D【详解】解：∵，∴A错误；∵，∴B错误；∵与不能合并，，∴C错误；∵，∴D正确．6．A【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案．【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，∴．甲10次练习的数据分别为：，，乙10次练习的数据分别为：，，∴．7．B【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解．【详解】解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∵与都是弧所对的圆周角，∴．8．A【分析】设哲学书单价为元，则史学书单价为元，根据“史学书比哲学书少2本”列方程即可．【详解】解：哲学书单价为元，则史学书单价为元．哲学书的购买数量为本，史学书的购买数量为本．∵史学书比哲学书少2本，∴．9．C【分析】过作于，延长交于，根据正方形性质得四边形是矩形，根据矩形性质得，，，根据折叠性质得，，，进而求出，，根据直角三角形中30度所对边性质得，再根据勾股定理列方程求出，再根据求出，进而得，进一步求出、、、，即可得，再根据，，即可证明，进而得的长，最后根据计算即可得的长．【详解】解：如图，∵沿所在直线折叠得到，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴∴，∵，，∴，解得：，∴，过作于，延长交于，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴四边形是矩形，∴，，，∵即，∴，∴，∴，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴的长为．10．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．【详解】=，故答案为：．【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．11．【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案．【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，∴点的横坐标为，点的纵坐标为，∴点的坐标为．12．【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点，故一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式，将，，代入得：，化简得，解得．13．36【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可．【详解】解：∵点是正五边形的中心，，．，，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．∴，.14．【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接．∵点是切点，∴,∵，∴,∵，∴,∵,∴为等腰三角形，∴,∴,∵与同底等高，∴，∵半径，圆心角，∴扇形面积．15．①③【分析】根据伴点的定义，逐个验证四个结论，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，列方程或方程组判断解的存在性与个数即可．【详解】解：①对于点，，，其伴点为，因此①正确；②若和都在的图象上，由在图象上，可得，由在图象上，可得，即，联立得，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误；③若和都在的图象上，可得方程组，解得，∴存在这样的点P，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上，因此③正确；④若和都在的图象上，可得方程组，整理得，因此可得或，当时，代入得，该方程有两个不同实根，对应两个不同的点；当时，代入得，该方程判别式大于，有两个不同实根，对应两个不同的点，综上共有个不同的点满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误．综上，正确结论为①③．16．解：如图，为所求．【分析】由于点到边，的距离相等，则点D在的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线，交于点D．由于，则，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作的垂线，交于点E，则为所求．【详解】略17．(1)(2)【分析】（1）分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到最终结果；（2）将分式除法转化为乘法，分解因式后约分，再通分化简得到结果．【详解】（1）解：

解不等式①得：，解不等式②得，；所以不等式组的解集为．（2）解：原式．18．解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2．列表如下：白1白2红1白3（白1，白3）（白2，白3）（红1，白3）红2（白1，红2）（白2，红2）（红1，红2）可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种．∴小明获胜的概率为．小颖获胜的概率为．∵两人获胜的概率相等，∴这个游戏公平．【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平．【详解】略．19．(1)补全频数直方图如图所示，(2)；；(3)(4)估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人【分析】（1）先根据组人数与占比算出样本总人数，再求出组的人数频数补全直方图即可；（2）根据全部数据以及样本总人数，找出出现最多的数据得到众数，取排序后第位数据平均值得到中位数；（3）求出组占样本总人数的比例，乘即可求出圆心角的度数；（4）先计算出本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，再根据用样本估计总体即可得出答案．【详解】（1）解：∵组共人，扇形图组占，∴本次抽样调查的总人数为：（人），∴组的人数为：，补全频数直方图略；（2）解：根据抽取学生的一周阅览时长数据，本次抽样调查的总人数为人，出现次数最多共次，所以众数为，中位数是第个数的平均数，即：；（3）解：∵组共人，∴组所对应的扇形圆心角度数为：；（4）解：本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，即组和组的人数和：（人），估计该校一周阅览时长不低于小时的学生人数为：（人）．答：估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人．20．米【分析】在中，利用的三角函数值求出、长，再利用圆的定义求出长，进而求出长，在中，利用进行求解即可．【详解】解：，，在中，，米．米、米，点是所在圆的圆心，米，米，∵，在中，，米，答：，两点间的距离为米．21．(1)(2)(3)【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点写出点坐标；（2）由（1）得到点的坐标，将、两点坐标代入，解二元一次方程组求出，，再令求得直线与轴交点的横坐标，从而可得到点的坐标；（3）不等式代表在范围内，一次函数图像位于轴上方且在反比例函数图像下方，结合点和点的横坐标，直接得出对应的取值范围即可．【详解】（1）解：由旋转得，，，，，即，，，解得，，，四边形是矩形，，，；（2）解：由（1）得，，把，代入得，解得，，令得，解得，；（3）解：，应取轴正半轴上的图象在上方的部分，当时，．22．(1)证明：∵点F为线段中点，∴，∵，∴，又∵，在和中，，∴．(2)四边形为正方形，证明：∵四边形是平行四边形，且，∴四边形为矩形，∴，∵、分别平分、，∴，∴，即为等腰直角三角形，∴，由（1）得，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形为矩形，又∵，∴四边形为正方形．【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可．（2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明．【详解】（1）略（2）略23．(1)(2)(3)【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数；（2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和；（3）把五边形分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数．【详解】（1）解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个，如图，排列第三层时，，，，，，，第三层无法排列完整的小正方形，，在内部能排列的小正方形个数最多为个；（2）解：，以为宽度能排列两排，，第一层最多排列个，第二层最多排列个，如图，排列第三层时，，，四边形是矩形，，，，，，，第三层最多排列个，，第四层最多排列个，，在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个；（3）解：如图，，，四边形和是矩形，，，，，，，，，在矩形中最多放置三列，每列最多放个，，在矩形中最多可排列个，由（2）的第一层一共可放置个，，在梯形中，第一层最多排列个，，，，，在梯形中，第二层最多排列个，，，，，，，在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形，，在梯形中最多可排列个，，在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个．24．(1)(2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元(3)m的最小值是24【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式；（2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润；（3）先列出总利润关于