2017-2018版高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 函数的奇偶性学案 苏教版必修1

1、2.2.2功能的均等学习目标：1 .理解函数奇偶性的定义；2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法；3.利用奇偶函数图像的对称性解决简单问题。知识点函数奇偶性的几何特征想想下面哪个函数图像是关于Y轴对称的。原点对称呢？关于y轴对称的组合像的函数称为_ _ _ _ _ _函数，关于原点对称的像的函数称为_ _ _ _ _ _函数。知识点二函数奇偶性的定义思考1:你为什么不直接通过一个图像关于Y轴(或原点)的对称性来定义一个函数的偶数和奇数性质？思考2用点对称来描述图像对称有什么好处？函数y=f (x)的定义域是a .如果任何xA有f (-x)=f (x)，那么函数y=f (x)是一个偶函数；如果任何x

2、A都有f (-x)=-f (x)，那么函数y=f (x)称为奇函数。如果函数f(x)是奇数函数或偶数函数，我们说函数f(x)有奇偶性。知识点的三个奇(偶)函数的定义域特征想想如果函数f(x)的定义域是(-1，1)，这个函数f(x)还是奇偶性吗？在整理和判断函数的奇偶性时，要注意域优先的原则，即首先要看域是否关于_ _ _ _ _ _ _ _对称。第一类证明函数的奇偶性命题角度1知道解析函数并证明奇偶性例1 (1)证明f (x)=既不是奇数函数也不是偶数函数；(2)证明f (x)=(x 1) (x-1)是一个偶函数；(3)证明了f (x)=既是奇数函数又是偶数函数。反射和感知当用定义的方法来判断

3、一个函数是否具有奇偶性时，我们首先要看一个函数的定义域是否关于原点对称，也就是说，对于定义域中的任何一个X，-X必须属于这个定义域。跟踪训练1 (1)证明f (x)=(x-2)既不是奇数函数也不是偶数函数；(2)证据命题角度2证明分段函数的奇偶性例2判断函数f (x)=的奇偶性。分段函数的反映和感知也是函数，证明奇偶性也是要把握两点(1)该域是否关于原点对称。(2)域中任意一个x是否存在f (-x)=f(x)(或-f (x)，但对于不同的x，f(x)有不同的表达式，因此有必要逐一验证是否存在f (-x)=f (x)(或-f (x)。跟踪训练2证明f (x)=是奇数函数。命题角度3证明了抽象函数

4、的奇偶性例3 f(x)和g(x)是r上定义的奇函数，试着判断y=f (x) g (x)，y=f (x) g (x)，y=f g (x)的奇偶性。内省和理解通过使用基本的奇(偶)函数，可以通过加、减、乘、除和复合得到新的函数，并且可以判断这些新函数的奇偶性，主要是通过用-x来看总的结果。跟踪训练3:如果函数f(x)和g(x)的定义域都是r，并且f(x)是一个奇数函数，g(x)是一个偶数函数，那么下面的结论是正确的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(填入序号)(1) f (x) g (x)是奇数函数；f(x)g(x)是一个偶函数；|f(x)|g(x)是一个偶函数；f(x)|g(x)|是奇数

5、函数。第二类奇偶校验的应用命题角度1奇(偶)函数图像对称性的应用例40，)上r定义的奇函数f(x)的图像如图所示。(1)绘制f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)0。扩展查询在本例中，将“奇数函数”改为“偶数函数”，并重做问题。鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)的对称性，这一特性可用于绘制、评估、寻找解析表达式和研究单调性。跟踪训练4显示奇数函数f(x)的域为-5，5，区间0，5中的图像如图所示。(1)在间隔-5，0内绘制图像；(2)写出使f(x)为0的x的值集。命题角度2通过函数奇偶性的定义来评估例5 (1)如果函数f (x)=ax2 bx 3a b是一个偶函数，并且定义域是a-1，2a

6、，那么a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(2)函数f(x)是一个域为r的奇函数，当x0，f(x)=-x 1时。当x0时，求f (x)的解析表达式。反射函数和感知函数的奇偶性有两种常见的定义(1)该域关于原点对称。(2) F (-x)=F (x)(或-f (x)对于域中的任何X总是成立的。这个特性经常被用来获得一个常数方程，或者在方程中给X赋值。跟踪训练5:如果已知函数f (x)=奇函数，那么a=b _ _。1.函数f (x)=0 (x r)的奇偶性是_ _ _ _ _ _ _ _。函数f (x)=x (-10，f(-x)=x2,f(x)=-x2，f

7、(-x)=-f(x)；如果x0，那么-x0，f(-x)=-(-x)2=-x2,f(x)=x2，f(-x)=-f(x)；也就是说，任何x0都有f (-x)=-f (x)。f(x)是奇数函数。例3解f(x)，g(x)是定义在r，f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)g(x)，y=f (x) g (x)是奇数函数。f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)，y=f (x) g (x)是一个偶函数。F g (-x)=f -g (x)=-f g (x)，y=f g (x)是一个奇数函数。跟踪培训3 解析如果h (x)=f (x) g (x)，那么h(-x)=f(-x)g

8、(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)，h(x)是奇数函数，那么是对的，是错的让h (x)=| f (x) | g (x)，然后h(-x)=| f(-x)| g(x)=| f(x)| g(x)=h(x)设h (x)=f (x) | g (x) |，那么h(-x)=f(-x)| g(-x)|=-f(x)| g(x)|=-h(x)，h(x)是奇数函数例4要求解(1)，首先跟踪(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(-1，-1)，(-2，0)，并连接直线得到f(x)的图像。(2)xf(x)0表示图像上的横坐标和纵坐标具有相同的符号。结合图像，我们可以知道xf(x)0的解集是(-2，0)(0，2)。

9、扩展查询图中显示了溶液(1)f(x)的图像。(2)xf(x)0的解集是(-，-2)(0，2)。跟踪训练4解决方案(1)如图所示，在0，5的图像上选择五个关键点o、a、b、c和d。追踪它们关于原点的对称点，然后用平滑的曲线连接。(2)从图(1)可以看出，当且仅当当x(-2，0)(2，5)时，f(x)0。让f(x)0的值集为(-2，0)(2，5)。示例5 (1) 0解析偶函数的区域关于原点对称， a-1=-2a，解是a=，f(x)=x2+bx+b+1。f(x)是一个偶函数，f(-x)=(-x)2+b(-x)+b+1=f(x)=x2+bx+b+1，它适用于域中的任何x，也就是说，2bx=0适用于任何x-， b=0。总而言之，a=，b=0。(2)如果x0被求解，那么-x0，f(-x)=-(-x)+1=x+1，