2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理(二)学案 新人教B版选修1-2

1、2.1.1合理推理(2)1.通过具体例子理解类比推理的含义。2.用类比推理来判断具体问题。1.类比推理根据两种不同事物之间的相似性(或一致性)，一种事物与另一种事物相似(或相同)的推论称为类比推理。2.类比推理的一般步骤(1)找出两种事物之间的相似性或一致性；(2)利用一种事物的性质来推测另一种事物的性质，并得到一个确定的命题(猜测)。探索点平面图形和三维图形的相似性阅读以下推理，并回答随后提出的问题：1.科学家研究了火星，发现火星和地球有许多相似的特征：(1)火星也是一颗围绕太阳旋转的行星；(2)有大气，一年中有季节变化；(3)火星的温度大部分时间都适合地球上一些已知生物的存在，等等。科学家

2、怀疑火星上可能也有生命。2.根据平等的性质猜测不平等的性质。方程的性质：(1)a=b a+c=b+c。(2)a=b AC=BC。(3) A=BA2=B2等。猜测不平等的本质；(1)ab a+CB+c；(2)ab acbc；(3) ABA2B2等。思考1。这两个推理例子在思维方式上有什么共同特点？答：这两个推理例子是基于两个不同事物之间的相似性(或一致性)，并推测一种事物与另一种事物具有相似(或相同)的性质。认为2是正确的猜测吗？答案可能不正确。思考3个类比圆的特征，并在下表中填入球的相关特征圆的概念和性质球的相似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦中点(无直径)之间的连线垂直于

3、弦球体中心和截面圆(不穿过球体中心的截面圆)中心之间的连线垂直于截面圆离圆心距离相同的两个弦相等；两个离圆心距离不等的弦是不相等的，离圆心越近的弦越长距离球体中心相同距离的两个部分具有相同的圆形面积；距离球体中心不同距离的两个截面的圆形面积不同，距离球体中心较近的截面的圆形面积较大以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程是(x-x0) 2 (y-y0) 2=R2以点P(x0，y0，z0)为中心，r为半径的球的方程是(x-x0) 2 (y-y0) 2 (z-z0) 2=R2例1如图所示，面积为s的平面凸四边形的第ith边的长度表示为ai (I=1，2，3，4)，四边形中任意点p到第ith边

4、的距离表示为hi (I=1，2，3，4)。如果=k，则h1 2h2 3h3 4h4=与上述性质相比，具有体积v的三棱锥的第I面的面积表示为si (I=1，2，3，4)，并且从三棱锥中的任意点q到第I面的距离表示为hi (I=1，2，3，4)。如果=k，什么是h1 2h2 3h3 4h4？平面凸四边形的解；S=a1h1+a2h2+a3h3+a4h4=(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=(h1+2h2+3h3+4h4)，因此，h1 2 H2 3 H3 4 H4=；类似于三角金字塔，V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=(KH1+2KH2+3KH3+4KH4)=(H1+2H2+3H3+4

5、H4)。因此，h1 2h2 3h3 4h4=。反思与感悟要解决这样的问题，就要注意用类比推理的方法来分析问题，研究条件变化时问题性质的差异和变化。例如，将平面图形中从点到直线的距离与三棱锥中从点到平面的距离进行比较，将平面图形中的面积与三棱锥中的体积进行比较，然后计算结果。在平面几何的追踪训练1中，有一个勾股定理：“让AB和AC在ABC的两边互相垂直，那么ab2 ac2=bc2。”延伸到空间(如图所示)，通过类比平面几何中的毕达哥拉斯定理，研究了三棱锥的边面积和底面积之间的关系，并得出如下结论答案是，如果三棱锥的三条边是互相垂直的，那么S S S=S分析类比条件：两个在几何级数bn中，如果B9

6、=1，则等式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _成立。答案b1b2 bn=b1b2 b17-n (n17，n n)在算术级数an中，从a10=0，a1 a19=a2 a18=a20-n=a19-n=2 a10=0。a1+a2+an+a19=0，即，a1 a2 an=-a19-a18-an 1，和a1=-a19，a2=-a18，a19-n=-an 1，a1+a2+an=-a19-a18-an+1=a1+a2+a19-n.如果a9=0，a1 a2 an=a1 a2 a17-n可以用同样的方法得到。因此，与几何级数bn中的这一性质相似，B1b2 bn=b1b2 b17-n (n 17，

7、n n)可获得。反思与理解(1)用类比找出项目之间的关系，用算术和几何级数的性质来解决问题是解决这个问题的关键。(2)算术级数和几何级数有非常相似的运算和性质。通常，算术级数的和(或差)对应于几何级数的积(或商)。跟踪训练2:如果算术级数an的前n项之和为Sn，则S4、S8-S4、S12-S8和S16-S12成为算术级数。通过类比，上述结论如下：如果几何级数bn的前n项的乘积是t n，那么T4，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，成为几何级数。回答1.以下说法是正确的()A.通过合理推理得出的结论必须是正确的B.合理的推理必须有前提和结论C.合理的推理不能猜测D.从合理的推

8、理中得出的结论不能判断是对还是错回答乙根据合理推理，合理推理必须有前提和结论。2.在平面上，如果两个正三角形的边长比为12，它们的面积比为14。同样，在空间中，如果两个正四面体的边长比为12，它们的体积比为_ _ _ _ _ _ _ _。答案1: 8解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积比是相似比的平方。同样，两个正四面体是两个相似的几何形状，它们的体积比是立方，体积比是18。3.如果数列cn是算术级数，那么当dn=时，数列dn也是算术级数。与上述性质类似，如果数列an是正数的几何级数，当bn=_ _ _ _ _ _时，数列bn也是几何级数。回答4.“正三角形的内切圆切于三条边的中点”的命题可以类似地猜想：正四面体的内切圆切于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _