信号与系统-2

1、第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解 关于0-和0+初始值 零输入响应、零状态响应、全响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应,2.3 卷积积分 卷积积分 卷积的图示 2.4 卷积积分的性质 卷积的代数运算、函数与冲激函数的卷积、卷积的微分与积分、相关函数,2.1 LTI连续系统的响应,一、微分方程的经典解,y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t),LTI系统的时域描述：n阶常

2、系数微分方程,需要n个初始条件,微分方程的经典解：,y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）,齐次解：y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解,yh(t)的函数形式：由特征根确定,特征根：,不同特征根对应的齐次解函数形式,单根 重根,单实根 一对共轭复根,r重实根 r重共轭复根,详见教材P41 表21,特解：,函数形式与激励函数的形式有关。P41表2-2,注意,齐次解待定系数的确定： 由全解和初始条件决定,特解中各系数的确定： 将特解带入原方程确定（不需初始条件）,自由响应（固有响应）与强迫响应解的物理意义,函数形式由激励确定,齐次

3、解,函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关,系统的固有响应或自由响应,特解,强迫响应,瞬态响应与稳态响应解的另一种分解,瞬态响应,稳态响应,例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。,解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0,特征根：1= 2，2= 3 齐次解为：yh(t) = C1e 2t + C2e 3t,f(t) = 2e t时，特解可设为：yp(t) =

4、Pe t 将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t,解得 P=1,特解为：yp(t) = e t,全解为：,y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t,y(0) = C1+C2+ 1 = 2 y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2,y(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t,待定常数C1,C2由初始条件确定,y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t ( t0),其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得 P1e-2t = e

5、2t 所以 P1= 1 但P0不能求得,（2）齐次解同上：yh(t) = C1e 2t + C2e 3t,f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。由表2-2知,全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t,将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自

6、由响应和强迫响应。,二、关于0-和0+初始值,f(t) 在t=0时接入系统,t=0- 激励接入前的瞬间 t=0+ 激励接入后的瞬间,求微分方程所需的初始条件应为t0+时刻的响应及各阶导数值y(j)(0+),已知初始条件一般是t0-时刻的y(j)(0+),如何由y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)？,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) +

7、6(t),y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t),初值为什么会发生跃变,由t0-时刻初值确定t0+时刻初值的关键,确定y(t)及各阶导数是否含冲激函数及其导数,方程两端(t)及各阶导数项的系数应相等,系数匹配法,y(0+) 等于 y(0-),由于等号右端有2(t),故y”(t)应包含冲激函数,但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项,y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t),y(t)不含冲激函数,y(0+) 不等于 y(0-),y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t),两端积分,y(t)不含

8、冲激函数及各阶导数,y(0+) y(0-) = 2 y(0+) = y(0-) + 2 =2,y(t)不含冲激函数及各阶导数,当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含冲激函数（及其各阶导数）时，则不会跃变。,结论,三、零输入响应和零状态响应,y(t) = yx(t) + yf(t),零输入响应yx(t),激励f(t)=0；由非零的初始状态引起的响应,yx(j)(0+)= yx(j)(0-) 仅有齐次解,零状态响应yx(t),初始状态yf(j)(0-)=0；由激励f(t)引起的响应,零状态响应yx(t),初始状态yf(

9、j)(0-)=0；由激励f(t)引起的响应,齐次解特解,需要由yf(j)(0-)设法求得yf(j)(0+)？,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。 求该系统的零输入响应和零状态响应。,解:（1）零输入响应yx(t) 满足 yx”(t) + 3yx(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0,yx”(t) + 3yx(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=

10、2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0,该齐次方程的特征根为1， 2， yx(t) = Cx1e t + Cx2e 2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= 2 ，代入得 yx(t) = 4e t 2e 2t ,t 0,（2）零状态响应yf(t) 满足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) yf(0-) = yf(0-) = 0,方程右端含有(t),yf”(t)含(t) yf(t)不含(t) yf(t)不含(t),yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) yf(0-) = yf(0-) = 0,y

11、f”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) yf(0+) =0 yf(0+) = 2,对t0时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6 齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3， 于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3 代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,2.2 冲激响应和阶跃响应,一、（单位）冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),t0时， (t) 0,h(t)的函数形式为齐次解,由于激励为

12、冲激函数，因此在t=0时，初始状态会发生跃变,例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。,例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。,h（t）含冲激函数,如何确定t0时的初值？,y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t),h（t）含冲激函数,提示,先求系统y”(t)+5y(t)+6y(t)= f(t)的冲激响应h1(t),二、（单位）阶跃响应,阶跃响应与冲激响应的关系,例：已知系统框图，求阶跃响应,方法一：直接

13、用特解齐次解,求g（t）的另一方法,注意,g1(t)的表达式不能丢了e(t),方法二：先求冲激响应（无特解）再求阶跃响应,2.3 卷积积分,一、信号的时域分解与卷积积分,1 .信号的时域分解,(1) 预备知识,(2) 任意信号分解,“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t),“1”号脉冲高度f() ,宽度为，可表示为： f() p(t - ),“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，可表示为： f ( - ) p(t + ),f(t),t,用折线近似曲线,用脉冲表示折线,(2) 任意信号分解,“n”号脉冲高度f(n) 、宽度为，可表示为： f ( n) p(t n)

14、,2、卷积积分,3、LTI系统在任意信号作用下的零状态响应,二、卷积的图解运算,卷积过程可分解为三大步： （1）换元： t换为得 f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-) （3）乘积积分：对 f1() f2(t-)从 到对乘积项积分 注意：t为参变量。,例：已知f1(t)、f2(t)波形如图，求f1(t)*f2(t),解：1、换元,-t+2,t+2,2、反转平移,t换成-t,右移t t换成t-t,3、乘积积分,随t的变化，有效的积分区间发生变化,(1)t-2,f1(t)*f2(t)=0,t,f1(t),1,0,(2)-2t-1,t,f1(t),1,0,

15、(3)-1t0,t,f1(t),1,0,(4) 0t1,t,f1(t),1,0,(5) 1t2,t,f1(t),1,0,(6) 2t3,t,f1(t),1,0,(7) t3,补充：分段点的确定,f1(t)分段点横坐标： ti 0、1,f2(t)分段点横坐标：tj2、0、2,f1(t)*f2(t)分段点横坐标：2、-1、0、1、2、3,结论,f1(t)*f2(t)分段点横坐标titj,f1分段点横坐标ti,f2分段点横坐标tj,f1(t)*f2(t)分段点横坐标: -2、-1、0、1、2、3,2.4 卷积积分的性质,一、卷积的代数运算,满足乘法的三律： 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t),二、奇异函数的卷积特性,1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t),2. f(t)*(t)