2018年高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本(均值)不等式及应用学案 理

1、7.3基本(平均)不等式及其应用表演1。理解证明基本(平均)不等式的过程。2.将使用基本(平均)不等式来解决简单的最大(最小)问题。测试点1使用基本(平均)不等式来寻找最大值1.基本(平均)不等式(1)基本(平均)不等式成立：_ _ _ _ _ _ _ _。(2)设立等号的条件：当且仅当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答：(1)a0，B0 (2) A=B2.几个重要的不等式(1)a2+b2_(a，bR)。(2)_ _ _ _ _ _ _ _ _(甲和乙的数字相同)。(3)ab2(a，bR)。(4)2(a，bR)。回答：(1)2ab (2)23.算术平均值和几何平均值设a0和b0是A

2、和B的算术平均值和几何平均值，基本(平均值)不等式可描述为：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值4.用基本(平均)不等式求最大值给定x0和y0，那么(1)如果乘积xy是一个固定值p，那么当且仅当_ _ _ _ _ _ _ _ _，x y的最大值是2。(2)如果x和y是固定值p，则x y的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3、 _ _ _ _ _ _ _ _回答：(1) X=Y小(2) X=Y大1.基本不等式的两个易错点：忽略不等式成立的条件；忽略等号成立的条件。(1)函数y=x在区间(0，)中的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _，在区间(-，0)中的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _。回答：2-2分析：当x0，y=x 2=2时，当且仅当x=，即x=1，取等号。因此，y的最小值是2。当x0，-x0，y=x+=-2=-2，当且仅当-x=-，即x=-1，因此，y的最大值是-2。(2)函数y=sin x，x的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案：5分析：y=sin x 2=4，当sin x=，sin

4、x=2时，显然我们不能得到等号。实际上，如果t=sin x，x，那么t(0，1)，很容易知道y=t是(0，1)中的递减函数，所以当t=1时，y得到最小值5。2.应用基本不等式的技巧：集合；拆除。(1)如果01是已知的，则x的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案：5X=x-1 1 4 1=5。当且仅当x-1=，即x=3时，等号成立。利用基本不等式确定最大值的两种常见类型：替换变形；变量为负。(1)已知a0，b0，a b=2，y=的最小值为_ _ _ _ _ _。回答：分析：A B=2，=1，+=+2=.因此，y=的最小值为。(2) 00是已知的，-y=-lg x+2=4，当且仅当-

5、lg x=，即x=，等号成立，因此ymax=-4。【重点考查】利用基本(平均)不等式求最大值，一般已知两个非负数的和是其乘积的最大值，或者两个非负数的乘积是其和的最小值，这是每年高考的重点内容。主要有以下主张：角度一通过匹配法利用基本(平均)不等式求出最大值标题1 (1)如果已知00成立，则获得k 13x。* 3x2， k 12，即k2-1。(2)给定函数f (x)=(a r)，如果f(x)3适用于任何xN*，则a的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答分辨率通过f(x)3，我们得到3，XN*， x2 ax 11 3 (x 1)，a-3-.让f (x)=-，xN*，那么f (x)最

6、大值=f (3)=，即a-3 -, a-3 -。1.af (x)恒定为af(x)最大值，a0)。如果(1，)上f (x)的最小值是4，那么实数p=()A.2 BC.4 D答：乙分析：从问题的含义，得到x-10，f(x)=x-1+12+1，当且仅当x=1时，等号成立。因为(1，)上f(x)的最小值是4，所以2 1=4，解是p=0。基本(平均)不等式在测试点3的实际应用(1)课本练习适应有一根18米长的铁丝，应该包在一个长方形的框架里，其底边是另一边的两倍长。当长方体最大时，底面的较短边长为()A.1米B.1.5米C.0.75 m D.0.5 m答：答(2)课本练习改编将一根导线切割成三段，制成一

7、个面积为2平方米的直角三角形框架，并选择最合理的(足够的和最不浪费的)导线，其长度为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _回答：4 2解析：假设两个直角边是a m，b m，框架的周长是l，那么ab=2，也就是ab=4。 l=a b 2=4 2，当且仅当a=b=2时，取等号，因此最合理(充分且最不浪费)的铁丝长度为(4 2)米.(3)课本练习改编建一个8立方米、2米深的长方体无盖水池，如果池底每平方米120元，池壁每平方米80元，则水池的最低造价为_ _

8、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：1 760分析：如果池底的一边为x米长，另一边为米长，则总成本为y=4120 480 1 760，当且仅当x=2时，才得到最小值。标题5一项研究表明，考虑到驾驶安全，某一路段的交通流量F(每单位时间通过测量点的车辆数量，单位：车辆/小时)与交通流量速度V(假设车辆以相同速度V行驶，单位：米/秒)和平均长度L(单位：米)的值有关，公式为f=。(1)如果车辆类型不受限制，l=6.05，则最大车辆流量为_ _ _ _ _ _ _ _辆/小时；(2)如果车辆类型有限，且L=5，则最大交通量将比(1)中的最大交通量增加_ _ _ _ _ _ _ _辆/小时

9、。答案 (1)1 900 (2)100(1)当l=6.05时，F=，F=1 900，当且仅当v=，即v=11时，等号成立。最大车辆流量f为1900辆/小时。(2)l=5时，F=，F=2 000，当且仅当v=，即v=10时，等号成立。与(1)中的最大交通量相比，的最大交通量增加了2 000-1 900=100(车辆/小时)。解决实际应用问题应注意的三点(1)设置变量时，通常需要将寻求最大值或最小值的变量定义为函数。(2)根据实际问题抽象出函数的解析表达式后，只需要用基本不等式就可以得到函数的最大值。(3)当求一个函数的最大值时，必须在定义的范围内求解(使实际问题有意义的自变量的取值范围)。一个车

10、间批量生产一定的产品，每批的生产准备费用是800元。如果每批生产x件，平均储存时间为天，每件产品的日储存成本为1元。为了使每种产品的平均生产准备成本和储存成本之和最小化，每批应生产()种产品A.60件B. 80件C.100台。D. 120台答：乙分析：如果每批生产x种产品，每种产品的生产准备成本为元，储存成本为元，总成本 2=20。当且仅当=，即x=80，等号成立。方法和技巧 1。基本(平均)不等式具有将“和公式”转化为“积公式”并将“积公式”转化为“和公式”的标度函数，常用于比较数字的大小或证明不等式。解决问题的关键是分析不等式两边的结构特征，选择好利用基本(平均)不等式的切入点。2.如果在使用基本(平均)不等式时不能得到等号，可以考虑函数y=x (m0)的单调性。易出错预防 1。利用基本(平均)不等式求最大值，一正、二定、三相三个条件是必不可少的。2.连续使用基本(平均)不等式来寻找最大值要求每个等号都有相同的条件。振体训练1.江苏卷2016在锐角三角形ABC中，如果sin A=2 sin BSin C，则tan Atan Btan C的最小值为_ _ _ _ _ _。答案：8解析：从sin a=sin(b(c)=2 sin sin c，获取因为Bsin C=。将两边同时除以，得到tan B+tan C=2tan Btan C，使tanb tan