2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修1-1

1、3.4生活中的优化问题举例1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点)2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力.(难点)基础初探教材整理优化问题阅读教材P101第一自然段，完成下列问题.1.优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值.2.用导数解决优化问题的基本思路甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图341所示：图341现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生产；第四年后该产品年

2、产量保持不变.其中说法正确的有()A.B.C.D.【解析】由图象可知，是正确的.【答案】B小组合作型面积、体积最值问题用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图342).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 【导学号：】图342【精彩点拨】【自主解答】设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则：V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24).所以V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36).令V(x)0，得x10

3、或x36(舍去).当0x10时，V(x)0，即V(x)是增加的；当10x24时，V(x)0，即V(x)是减少的.因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)19 600(cm3).因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值.2.实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售

4、量大于零等.再练一题1.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.【解】设矩形边长AD2x(0x2)，则|AB|y4x2，则矩形面积为S2x(4x2)8x2x3(0x2)，S86x2，令S0，解得x1，x2(舍去).当0x0，当x2时，S0还是y0；(2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值.【自主解答】(1)由题意，每年销售Q万件，成本共计为(32Q3)万元.销售收入是(32Q3)150%x50%，年利润y年收入年成本年广告费(32Q3x)(x0)，所求的函数关系式为：y(x0).因为当x100时，y0；当x(7

5、，)时，f(x)0)；生产总成本y2(万元)也是x的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A.9千台B.8千台C.6千台D.3千台【解析】利润函数yy1y218x22x3(x0)，求导得y36x6x2，令y0，得x6或x0(舍去).因0x6时，y18x22x3递减，x6时利润最大，故选C.【答案】C3.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最小值为_.【解析】设其中一段长为x，则另一段长为16x，设两正方形的面积分别为S1，S2，面积之和为S，则SS1S222x2x22x16x22x16(0x16).令Sx20，得x8.即x8时， S有最小值，最小值为8

6、.【答案】84.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的售价为_元时，利润最大.【解析】利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000，S(x)2x230，由S(x)0得x115，这时利润达到最大.【答案】1155.某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5 000(单位：万元).求：(1)利润函数P(x)(提示：利润产值成本)的解析式；(2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？ 【导学号：】【解】(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 240x5 000(xN且x1,20).(2)P(x)30x290x3 24030(x