2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题6 函数与导数 第16讲 导数的应用教学案 理

1、第16讲导数的应用问题1用导数来研究函数的单调性(对应于学生手册的第53页)核心知识储备.1.f (x)0是f(x)是增函数的一个充分必要条件。例如，函数f (x)=x3在(-，)上单调增加，但f(x)0。2.f(x)0是f(x)是一个增函数的一个充要条件。如果在某个区间内总有F(x)=0，那么f(x)是一个常数函数，函数不是单调的。3.用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定功能域；(2)导出函数f(x)；(3) (1)如果我们想找到单调区间(或证明单调性)，只需要在函数定义的范围内求解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0。(2)如果函数的单调性已知，则可将其转化为单调区间上的不等式f(

2、x)0或f(x)0为常数的问题。尝试找到问题的解决方案.已知函数f (x)=ax2-x ln x (a r)。(1)求函数f(x)的单调区间；(2) Mn0，1是常数，是实数a的取值范围.TutorialNo。思路分析 (1)求f(x)讨论f(x)的单调区间值为a；(2)如果1f (m)-MF (n)-n，则从g(x)0得到a的取值范围。解 (1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)=2ax-1=。(1)当a=0时，f(x)=。显然，当x(0，1)，f(x)0时，函数f(x)单调增加；当x(1，)，f(x)0和函数f(x)单调递减时。当a0时，对于2 a2-x 1=0，=(-1) 2-42

3、a1=1-8a。当 0，即a时，由于a0，2 a2-x 10成立，即f(x)0成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递增。如果 0，即00，x20。当x，2 x2-X10，f(x)0时，函数f(x)单调增加；当x，2 x2-X10，f(x)0时，函数f(x)单调下降。当0x10。当x，2 x2-X10，f(x)0时，函数f(x)单调增加；当x，2 x2-X10，f(x)0时，函数f(x)单调下降；当x，2 x2-X10，f(x)0时，函数f(x)单调增加。综上所述，当a=0时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当a时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，不存在单调递

4、减区间。当01，和mn，所以f (m)-MF (n)-n。G (x)=f (x)-x，则函数g (x)=f (x)-x在(0，)上单调递增。g(x)=2ax-20可由g (x)=f (x)-x=ax2-2x lnx得到。因为x0，所以a =-。用h (x)=-(x0)，h (x)=-(-2)=。显然，当x(0，1)，h(x)0时，函数h(x)单调增加；当x(1，)时，h(x)0和函数h(x)单调递减。h(x)的最大值是h (1)=-=，因此，a。因此，实数a的取值范围是。【课堂提问的一般方法】寻找单调区间或判断单调性的方法(1)无参数：求解不等式f (x)0或f (x)0，取不等式解集与定义域

5、的交集，即为相应的递增区间或递减区间。(2)含参数：对参数进行分类讨论，引起讨论的因素包括：参数的正负、导数的无穷值、极值点的大小关系、极值点与区域的关系。点对点实时培训.函数f(x)=(ax2 x-1)ex f(0)是已知的。(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)如果g (x)=e-xf (x) ln x，h (x)=ex，交点O(0，0)分别是曲线y=g (x)和y=h (x)的切线l1和l2，l1和l2关于x轴对称，证明了：0，当x- When-2-0时，f(x)0；当x0，f(x)为0时，f(x)的单调递增区间为(0，)。单调递减区间为(-，0)。if-2-或x0，f(x)0；当00时

6、，f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为(-，0)。如果a=-，f(x)=-x2ex0，f(x)的单调递减区间为(-，)。如果a-，当x-2-或x0，f (x)0；当-2-0时，f(x)的单调递增区间为；单调递减区间是和(0，)。综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为和(0，+)；单调递减区间是。当a=0时，f(x)的单调递增区间为(0，)。单调递减区间为(-，0)。当-0，所以在f(x0，)上，u(x)是单调递增函数。因为u (1)=2.如果函数y=f(x)在a，b中是连续的，在(a，b)中是可导的，那么f(x)必须在a，b中有最大值和最小值，并且在极值点或端点处得到。尝试找到问题的

7、解决方案.已知函数f (x)=x2-(a 1) x 2 alnx (a r)。(1)求函数f(x)的极值点；(2)如果a=2，求函数f(x)在1，t(t1)上的最小值。TutorialNo。解 (1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)=x-(a1)=0。当f(x)=0时，x1=a，x2=1。(1)如果a0，当x变化时，f(x)和f(x)的变化如下：x(0，1)1(1，+)f(x)-0+f(x)最低限度因此，f(x)的最小值是1，没有最大值。如果01，当x变化时，f(x)和f(x)的变化如下表所示：x(0，1)1(1，a)a(a，+)f(x)+0-0+f(x)max最低限度因此，f(x)的

8、最小点是a，最大点是1。总而言之，如果a0，f(x)的最小点是1，没有最大点；如果01，f(x)的最小点是A，最大点是1。(2)当a=2时，f (x)=x2-3x 2 2lnx。从(1)可以看出，函数f(x)在1，2上单调递减，在2，)上单调递增。如果为12，函数f(x)在1，2上单调递减，在2，t上单调递增。因此，f(x)的最小值是f(2)=22-32 2 ln 2=-2 2 ln 2。总而言之，当12时，f(x)的最小值是-2 2ln2。课堂提问的一般方法1.要找到函数f(x)的极值，首先找到方程f(x)=0的根，然后检查方程根处f(x)的左右函数值的符号。2.如果极值的大小或存在性已知，

9、则转化为方程f(x)=0的根的大小或存在性。3.当在封闭区间a，b中找到函数f(x)的最大值时，通过比较区间末端的函数值f(a)、f(b)和f(x)的极值，得到函数的最大值。点对点实时培训.函数f (x)=a (x-ln x)是已知的，e是自然对数的基数。(1)当a0时，试求f(x)的单调区间；(2)如果函数f(x)在区间中有三个不同的极值点，则得到实数a的取值范围。解 (1)该函数的定义域是x(0，)，f(x)=a=。当a0，对于任何x(0，)，ex ax0成立，所以如果x1，f(x)0，如果让函数g (x)=xln x，然后g(x)=1ln x。因此，当x，g(x)0；当x时g(x)0。因

10、此，g(x)在上部单调减少，在上部单调增加，因此g(x)在(0，)上的最小值是g=-.8点让函数h (x)=xe-x-，然后h(x)=e-x(1-x)。因此，当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)，h(x)0。因此，h(x)在(0，1)上单调增加，在(1，)上单调减少。因此，(0，)上h(x)的最大值是h(1)=-10分钟因为因此，当x0，g(x)h(x)，即f (x)为1.12点时评论家说容易出错的地方预防措施导数的算术规则和复合函数的导数规则不熟练，算术失分。复杂解析表达式导数的求导应在不同的层次上进行，包括运算层次和复合层次。不平等没有变形和分化，这阻碍了问题的解决。对于复杂不等式，将变形转化为等价不等式证明是证明不等式的重要方法。未转化