2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用学案 理 北师大版

1、4.4函数y=Asin(x )的图像和应用最新的试验纲思情思向分析1 .可以描述解函数y=Asin(x )的物理意义y=Asin(x )的图像。2 .了解残奥仪表a、对函数图象变化的影响3 .用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是说明周期变化现象的重要函数模型研究函数以y=Asin(x )图像的五点法绘画、图像间的平移伸缩变换、图像求函数解析式及利用正弦函数解决实际问题为主，结合三角函数的性质、三角恒等变换进行综合研究，增强数形结合思想的应用意识关于1.y=Asin(x )的概念y=正弦(x) (a 0、0 )、x-r振幅周期频率相位首相aT=f=x 在用五点法描绘y=Asin(x

2、)(A0，0，x-r )的一个周期内的概略图的情况下，寻找五个特征点如下表所示xx 02y=阿森(x)0a0-A0两条路径对函数y=sin x的图像进行转换而获得y=Asin(x )(A0，0 )的图像知识广博1 .函数y=Asin(x ) k图像移位定律：“从左向右减去，从上减去”。从y=sin x到y=sin(x )(0，0 )的转换：向左移位一个单位长度，而不是个单位长度。函数y=Asin(x )的对称轴由x =k、k-z决定。 对称中心以x =k、k-z确定其横坐标。问题小组思考分析1 .判断以下结论是否正确(请在括号内加上“”或“”)(1)y=sin的图像是通过将y=sin的图像向右

3、错位单位长度而获得的。(2)将函数y=sin x的图像向右移位0个单位长度，得到函数y=sin(x-)的图像。(3)设函数y=Acos(x )的最小正周期为t，则函数图像的相邻2个对称中心间的距离为。(4)从图像中求出函数解析式时，振幅a的大小由一个周期内图像中的最高点的值和最低点的值来决定.问题小组2教材的改编2 .为了获得函数y=2sin的图像，可以使用具有函数y=2sin 2x的图像()a .将单位长度向右移动b .将单位长度向右移动c .将单位长度向左移动d .将单位长度向左移动答案a3 .函数y=2sin的振幅、频率、初始相分别为()a.2、4、B.2、C.2，- d.2，4，-答案

4、c分析从题意上可知A=2、f=、初相为-。4 .如图所示，如果某天614点的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x ) b，则该曲线的函数解析式为。答案是y=10sin 20，x- 6，14 从解析图可以看出，614时的是函数y=Asin(x ) b的半个周期，A=(30-10)=10，b=(30十)=20，另外=14-6，所以=.另外，10 =2 2k、k-z、=、y=10合20，x-6，14。问题组3容易出错5 .为了获得函数y=sin的图像，可以使用函数y=sin 4x的图像()a .单位长度b向左移动，单位长度向右移动c .单位长度d向左移动，单位长度向右移动答案b分析y=sin=s

5、in，为了获得y=sin的图像，使函数y=sin 4x的图像向右移位单位长度即可。6 .当使(2016年全国I )函数y=2sin的图像向右移位一个循环时，与所获得的图像对应的函数变为(-)a.y=2合金b.y=2合金c.y=2单位，y=2单位答案d设解析函数y=2sin的周期为，并且将函数y=2sin的图像向右移位1个周期即单位长度得到的函数是y=2sin=2sin，所以我选d当在图中示出函数f(x)=Asin(x )(A0，0，|)的部分图像时，成为函数f(x )回答f(x)=sin分析从问题图中可以看出A=、=-=、因为T=，所以=2，由此成为f(x)=sin(2x )，另外成为最小值的

6、点是在2 =2k，k-z时，在=2k，k-z时，另外|，所以=。因此，f(x)=sin。问题型1函数y=Asin(x )的图像和变换作为典型的示例，已知函数y=2sin。(1)求出其振幅、周期、初相(2)使用“五点法”制作其一个周期内的图像(3)关于3)y=2的sin的图像，说明y=sin x的图像经过怎样的变换而得到。解(1)y=2sin的振幅A=2，周期T=，初始相=。假设X=2x，则X=2x合计=2合计x。清单如下：x-x02y=真实x010-10y=2单位020-20如图所示，绘制图像(3)将方法y=sin x的图像上的所有点向左移位一个单位长度，获得y=sin的图像进而，将y=sin

7、的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图像最后，如果将y=sin上所有点的纵轴延长为原来的2倍(横轴不变)，则得到y=2sin的图像.方法将y=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍数(纵坐标不变)，得到y=sin 2x的图像进而，使y=sin 2x的图像向左位移1个单位长度，得到y=sin=sin的图像。进而，将y=sin的图像上的所有点的纵轴延长为原来的2倍(横轴不变)，即得到y=2sin的图像。思维热升华(1)y=Asin(x )的图像可以用“五点法”制作概略图，可以用变量置换z=x 修正五点坐标。(2)为了通过变换从函数y=sin x的图像得到y=

8、Asin(x )图像，有“先平行移动并伸缩”和“先伸缩并平行移动”两个路径。如果将跟踪训练(1)(2018石家庄调查)函数y=sin的图像向左移位一个单位长度，则所获得的图像与函数y=cos x的图像重叠，并且能够具有的值为()A.2 B. C. D .答案a当分析y=sin和函数y=cos x的图像相互重叠并且获得-=2k和k-z时，=6k 2和kZ.2是的可能值。(2)将函数y=sin x的图像上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，在保持纵坐标的情况下将获得的函数图像向左移位单位长度，并且获得的函数图像的解析式是答案是y=cos 2x解析度从y=sin x图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半

9、，纵坐标不变，所获得的图像的解析式定为y=sin x，并且进一步向左位移单位长度y=sin 2，即y=cos 2x。由问题型2画像决定的y=Asin(x )的解析式当在附图中示出典型示例(1)中的函数y=Asin(x )的部分图像时，y=。答案二合一从问题图可以看出，解析是A=2，T=2=时=2，从5点作图法是=-时函数的解析式是y=2sin。(2)已知函数f(x)=sin(x )的部分图像如图所示，y=f取最小值时的x的集合是。答案由于分析是从给定图像开始的周期T=4=，所以=，=2，所以f(x)=sin(2x )，另外，在图像通过点上代入2 = 220思维热升华y=Asin(x )中的确定

10、方法(1)代入法：代入图像上已知的点(在这种情况下，留心该点在上升区间上还是在下降区间上)，或者代入图像的最高点或最低点(2)五点法：确定值时，多以寻找“五点法”中的特殊点为突破口跟踪训练(2018石家庄质量检验)在将函数f(x )的图像向左移位m(m0 )个单位长度之后，对函数g(x )的方程式进行修改，如该图所示。甲骨文。C. D答案d解析在题名的意义上可以解决=-=、如果=2，则f(x)=sin(2x )。另外，f=sin=、因此，等于或大于2 k(k-z )。因此=，所以f(x)=sin。如果使函数f(x )的图像关于原点对称，即，h(x)=sin的图像关于原点对称，因此，得到了g(x

11、)=sin的图像，并且函数g(x )的图像关于原点对称，即，sin=0问题型三角函数图像性质的应用命题1三角函数模型典型的例子表示某个港口的1日6时到18时的水深变化曲线大致满足函数y=3sin k，可以看出，该时间的水深(单位： m )的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10答案c分析从主题图得到ymin=k-3=2时，k=5。ymax=k 3=8。命题点二函数零点(方程根)问题典型的例子知道相对于x的方程2sin2x-sin 2x m-1=0具有两个不同的实数根，其中m可能的范围是。答案(-2，-1)解析方程式2的2sin2x-sin 2x m-1=0m=1- 2单一信号2 x=co

12、s 2单一信号2 x二合一，x -。如果2x=t，则为t -，主题条件可以转换为=sin t，t -，有两个不同的实数根y1=和y2=sin t，t -的图像有两种不同的升交点：由图像观察可知，可取值的范围为因此，m的可取值的范围为(-2，-1)。补充探究在本例中，如果将有两个不同实数根变更为有实数根，则m的取值的范围回答(-2，1 )从分析上的例题可以看出，取值的范围是-2m1，m的可取值范围为-2，1 。命题三三角函数图像性质的综合典型的例子(2017潍坊仿真)已知函数f(x)=sin (0 )的图像和在x轴上相邻的两个升交点之间的距离是正。(1)求函数f(x )的解析式当具有(2)f(x

13、 )的图像向左移位m(m0 )个单位长度并且函数g(x )的图像正好获得通过点时，获得g(x )上的键盘增量时段，其中m取最小值。关于解(1)函数f(x )的图像与邻接于x轴的两个升交点的距离，函数f(x )的最小正周期为T=2=、=1，因此，函数f(x )的解析式为f(x)=sin。(2)将g(x )的图像向左位移m(m0)个单位长度，得到函数g(x)=sin=sin的图像，从g(x )的图像恰好通过原点，然后，得到sin=0即sin=0，在2m-=k(kZ )、m=(kZ )的情况下，因为m0是因此，当k=0时，m取最小值，最小值为。此时，g(x)=sin。因为是x，所以是2 x。对于2

14、x，即x，g(x )增加。对于2 x，即x，g(x )增加。综上所述，g(x )区间中的单调增加区间是和思维热升华(1)三角函数模型的应用体现在两个方面：一是已知函数模型求解数学题；二是抽象地将实际问题转换为数学题，利用有关三角函数的知识解决问题(2)方程式根的数量能够变换为两个函数图像的升交点的数量.研究(y=Asin(x )的性质时，把x 看作一体，可以利用转源法和数形结合思想来求解。已知如果函数f(x)=sin(x )在图像上的两个相邻最高点和最低点的距离是2、并且如果交点，则蕾丝花边训练(1)(2018兰州仿真)的函数f(x )的解析式是。回答f(x)=sin分析显示，两个相邻最高点和

15、最低点之间的距离为2，=2，解为T=4=即f(x)=sin。另外函数图像越过点因此，f(2)=sin=-sin =-，另外，在下，解为=，因此f(x)=sin。(2)如果函数f(x)=sin(0 )满足f(0)=f，并且函数在上，只有一个零点，则f(x )的最小正周期为。回答分析f(0)=f，x=是f(x )图像的对称轴，f=1，=k，k-z，=6k 2、k-z、T=(kZ )。另外，f(x )在上面，只有一个零点t、(k-z )(k )(k )，另外，k-z、k=0、T=。三角函数的图像和性质的综合问题典型例(12点)是已知的函数f(x)=2sincos-sin(x )。(1)求1)f(x )的最小正周期当在(2)中f (x )的图像向右移位单位长度时，获得函数g(x )的图像，并且获得区间0，中函数g(x )的最大值和最小值。将思考点旋钮(1)f(x )做成y=Asin(x )的形状后求周期。(2)将g(x )解析式中的x变换为x-，得到g(x )，然后，利用整体的思想求出最大值。规范解答解(1) f (x )=2单位正弦(x)=正弦x 三点=2sin，5分