2018年高中数学 第2章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修2-3

1、2.5.1离散型随机变量的平均值预习教科书P6063，考虑下面的问题并完成1 .什么是离散型随机变量的平均值？ 如何用离散型随机变量的分布列求平均值？2 .离散型随机变量的平均值有哪些性质？3 .两点分布、二项分布的平均值是什么？1 .离散型随机变量的平均或数学期望离散型随机变量x的分布列xx1x2是西是xn号驱逐舰p型p1p2是飞弹是pnE(X)=x1p1 x2p2 xipi xnpn_被称为随机变量x的平均或数学期望，反映了离散型随机变量所取的值的平均水平。2 .离散型随机变量平均值的性质如果Y=aX b，其中a和b是常数，则y也可以是随机变量，其中P(Y=axi b)=P(X=xi )，

2、I=1，2，n，e。3 .两点分布和二项分布的平均值(1)如果x遵循两点分布，则E(X)=p；(2)如果x遵循两个分布，即x到XB(n，p )，则E(X)=np。两点分布和两点分布的关系(1)同点：在一次考试中发生还是不发生(2)不同点：随机变量可取值不同，两点分布随机变量可取值为0、1、2项分布中，随机变量可取值x=0、1、2、n. 试验次数不同，两点分布一般只有一次试验的两个分布进行了n次试验地址1 .判断下面的命题是否正确。(1)随机变量x的数学期待E(X )是变量，根据x的变化而变化。(2)随机变量的平均值与样本的平均值相同。(3)如果随机变量的数学期望E()=3，那么E(4-5)=7

3、. ()回答： 1、2、32 .离散型随机变量x的分布列是x123p型x的数学期望E(X)=()甲组联赛日本职业足球联赛回答： a假设随机变量x到XB(16，p )且E(X)=4，则p=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案：4 .一个人的弓箭手每次射击中的目标概率为0.8，他独立射击的3次中的目标次数x的平均值为答案：2.4求离散型随机变量的平均值有一种有奖销售的饮料，如果瓶盖上印有“奖励一瓶”或者“谢谢购买”的文字，那瓶盖上印有“奖励一瓶”的文字就中奖了。 当选概率为：甲、乙、丙三名学生每人购买该饮料。(1)求甲方当选、乙方、丙方均不当选的概率(2

4、)求出当选人数的分布列及平均值E()。(1)甲、乙、丙当选的事件分别为a、b、cP(A)=P(B)=P(C)=。P(A)=P(A)P()P()=。所以甲当选，乙和丙都不当选的概率是(2)的可取值为0、1、2、3。P(=k)=Ck3-k，k=0，1，2，3。P(=0)=C03=；P(=1)=C2=；P(=2)=C2=、P(=3)=C30=。当选人数的分布0123p型E()=0 1 2 3=。求离散型随机变量的平均值(1)可能值的决定：从随机变量x的意义上，写出x可能的所有值(2)求出概率：求出x按每个值取的概率(3)写分布列：写x的分布列(4)求平均：根据平均的定义求E(X )。其中写随机变量的

5、分布列是解决这类问题的关键活用1 .甲、乙两人分别进行3次射击，甲击中目标的概率，乙击中目标的概率，甲击中目标的次数为x，乙击中目标的次数为y(1)求x的概率分布列(2)求x和y的数学期待解： (1)已知的x的所有可能值为0、1、2、3。P(X=k)=Ck3-k。P(X=0)=C3=；P(X=1)=C2=；P(X=2)=C2=；P(X=3)=C3=。因此，x的概率分布如下表所示x0123p型从(1)中得知E(X)=0 1 2 3=1.5或题意XB、YB。E(X)=3=1.5，E(Y)=3=2。2 .某选手投篮的概率P=0.6(1)求出一次投篮时投中次数的数学期待(2)求出反复投篮5次时投中次数

6、的数学期待。解： (1)的分布如下：01p型0.40.6E()=00.4 10.6=0.6，即，一次投篮时的投中次数的数学期待为0.6 .(2)遵循 b (5，0.6 )的两个分布。E()=np=50.6=3，即，重复5次投篮时投中次数的数学期待为3 .离散型随机变量的均值性质典型例已知的随机变量x的分布列如下所示x-2-1012p型米如果Y=-2X的话，那么e=_ _ _ _ _ .解析从随机变量分布列的性质来看m=1，m=、E(X)=(-2) (-1) 0 1 2=-。从Y=-2X得到E(Y)=-2E(X )，即，E(Y)=-2=。答案一个问题改变1.变更问题本例的条件不变，如果Y=2X-

7、3，则求出E(Y )。解：由公式E(aX b)=aE(X) b和E(X)=-得出。E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2-3=-。2.变更条件、变更问题本例的条件不变，求=aX 3且E()=-、a的值。解： E()=E(aX 3)=aE(X) 3=-a 3=-，a=15。离散型随机变量性质有关问题的解问题构想所给的随机变量和x的关系是=aX b、a、b是常数的话，一般的思维方法是在求出E(X )之后，使用公式E(aX b)=aE(X) b求出E()。平均值的实用化典型例某百货大楼销售某商品，根据过去的资料订正，顾客采用的支付期间数的分布是12345p型0.40.20.20.10.1百货大

8、楼销售该商品，采用一期支付，其利润分两期或三期支付200元，其利润分四期或五期支付250元，其利润为300元.表示销售该商品的利润(1)求出事件a的“购买该商品的3位顾客中，至少有1人采用1期支付”的概率P(A )(2)求出的分布列及平均值E()。(1)a所示的上通告知道“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用了分期付款”，上通告表示“购买该商品的3位顾客中没有采用分期付款”。P()=(1-0.4)3=0.216，P(A)=1-P()=1-0.216=0.784。的可取值为200元、250元、300元P(=200)=P(=1)=0.4，p (=250 )=p (=2) p (=3)=0.20.2

9、=0. 4，p (=300 )=p (=4) p (=5)=0. 10.1=0. 2，因此的分布列200250300p型0.40.40.2E()=2000.4 2500.4 3000.2=240 (元)。1 .实际问题中的平均问题平均值实际应用广泛，如体育比赛的预定和成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益等可以用随机变量的平均值来估计2 .概率模型的解答步骤(1)审查问题，确定实际问题是哪个概率模型，可用的事件类型，使用的公式是哪个(2)确定随机变量的分布列，并且校正随机变量的平均值(3)结合实际意义，回答概率、平均值等所表示的结论活用甲、乙两个人轮流投篮，每个人先投篮，先

10、投篮保证先投篮者获胜，直到有人获胜，或者每个人投三次时投篮结束。解： Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮中投出P(Ak)=、P(Bk)=、(k=1、2、3 )。的所有可能值都是一、二、三。从独立性知道P(=1)=P(A1) P(1B1)=，P(=2)=P(11A2) P(112B2)=22=、P(=3)=P(1122)=22=。从以上可知，的分布123p型数学期望是E()=1 2 3=。一级的学业水平达到了1 .离散型随机变量x的分布列为x01p型x的数学期望E(X)=()A.2 B.2或德国足球甲级联赛解析：由于选择c在分布列中的概率和为1，所以=1，即a2 a-2=0，解为a=-2 (舍

11、去)或者a=1，在E(X)=.的情况下选择c。2 .随机变量的分布列如下表所示，E()的值为()012345p型2x3x7x2x3xx甲骨文。C. D分析：选择c根据概率和为1，得到x=、e()=02x 13x 27x 32x 43x 5x=40x=.3 .有一个射击运动员在比赛中每次打10环得1分，不打10环得0分。 如果知道他击中10环的概率是0.8，那么射击1次的得分x的期待是()A.0.2 B.0.8C.1 D.0战斗机分析：因为选择b的是P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=10.8 00.2=0.8。4 .一个弓箭手射击目标，到首次命中为止，每次命中的概率为0.

12、6，现在有4发子弹头，射击停止后剩下的子弹头数x的平均值为()A.2.44 B.3.376C.2.376 D.2.4分析：选择C X的所有可能值为3，2，1，0，其分布为x3210p型0.60.240.0960.064e (x )=30.6 20.24 10.096 00.064=2. 376。有5.10个产品，其中3个是次品，从中任意取2个，取次品的个数用x表示，E(X )等于()甲骨文。德国足球甲级联赛分析：选择A X的可能值为0、1、2、P(X=0)=、P(X=1)=、p(x=2)=.e(x )。6 .一个弓箭手向目标射击，到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现在有4发子弹头，命中

13、后剩下的子弹头数x的数学期待是.分析： x的可取值为3，2，1，0，P(X=3)=0.6。 P(X=2)=0.40.6=0.24。P(X=1)=0.420.6=0.096。P(X=0)=0.43=0.064。E(X)=30.6 20.24 10.096 00.064=2.376。答案：2.376设离散型随机变量x的可取值为1，2，3，p (x=k )=AK b (k=1，2，3 )分析： p (x=1)=a b，P(X=2)=2a b，P(X=3)=3a b，E(X)=1(a b) 2(2a b) 3(3a b)=3，14a 6b=3.另外，a b、2 a b、3 a b=1，6a 3b=1.从可以看出，a=、b=-、b=-。回答： -8.p为非负实数，随机变量x的概率分布如下x012p型-pp型E(X )的最大值是解析：只有从表中得到的p -，期望值E(X)=0 1p 2=p 1，p=的情况下，E(X )的最大值=。答案：9 .盒内装有5个同布兰德的5号电池，其中混合有2个废电池，现在无回