随机信号分析课件第6章.ppt

1、随机过程,第六章：正态随机过程,第六章： 正态随机过程,6.1 随机变量特征函数的回顾 6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩 6.3 n 维正态随机变量的性质 6.4 正态随机过程的定义 6.5 正态随机过程的性质,如果对一个随机过程任意选取 n 个时刻，则得到 n 个相应的随机变量, 若此 n 个随机变量的联合分布是 n 维正态分布，则称随机过程 X(t) 是正态随机过程（高斯过程）。,正态随机过程定义：,随机变量的特征函数： 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，这个关系就是 Fourier 变换对，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。,6.1

2、随机变量特征函数的回顾,设 为随机变量，称 的数学期望为随机变量 的特征函数。记为：,已知特征函数，求概率密度函数(Fourier反变换)：,（1）特征函数的定义,连续型,离散型,解：,解答：,详细解答见教材P8例题1.2。,例题6-1：,结论：, 具有 X 的特征函数为 ，则 Y=aX+b 的特征函数为：,证明：,（2）特征函数的性质,证明：（归纳法证明）,当n=1时：,证明省略。,即：,定义： 若,（3）多维随机变量的特征函数,特征函数：,多维随机变量的特征函数定义：,同一维随机变量一样，多维随机变量的特征函数与概率密度函数是一对fourier变换对：,特征函数：,概率密度函数：,若X1，

3、X2 统计独立，则： 推广到n个： 证明：,若独立，则,多维随机变量的特征函数性质：,边际特征函数： 推广到n个： 证明：,已知,证明：,比较：,一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为：,记为 特征函数为:,6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩,（1）一维正态随机变量,若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为：,则称X1,X2为二维正态随机变量。其中为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为：,因此其边际分布为一维正态分布 ： ，,（2）二维正态随机变量,二维正态分布的协方差矩阵可表示为：,二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质： 实对称矩阵； 正定

4、矩阵 其逆矩阵可表示为,二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为：,其中,二维正态随机变量的特征函数表示为：,其中：,二维正态随机变量的特征函数也表示为：,若n维随机变量的联合密度函数为：,则称 为 n 维正态随机变量，其中C为n维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：,（3）n 维正态随机变量,若n维随机变量的特征函数为：,若 ，则存在 n 阶正交矩阵A，使得向量 中的分量Y1,Y2, ,Yn是独立的随机变量， 且 Yi 为一维正态分布 N(0,di)。,说明：,6.3 n 维正态随机变量的性质,的特征函数为,证明：,总存在正交矩阵A，通过变换 此时随机向量的协方差矩阵，且,由性质1可以知道

5、： 为 n 维独立随机变量，,且,其中,则,由特征函数线性变换的性质，对于：,可以得到:,证毕。,n维正态分布中任意m维子向量亦为正态分布(mn),证明：,已知:,若令,则:,n维正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。 即若 为正态随机向量，则 亦为正态随机向量。,只需证明其特征函数亦为正态特征函数,即,已知,若,即,证明：,若 为n维正态随机变量，那么X1,X2, ,Xn相互独立的充要条件是两两互不相关。,证明：,(1) 若已知两两相互独立,则不相关. (2) 若已经知道两两不相关,即Cij=0(当i不等于j时)，则,实际上，若：,方法二：,若 为n维正态随机变量，则其混合中心距可以用其特

6、征函数来表述：,6.4 正态随机过程的定义,如果对一个随机过程任意选取 n 个时刻，则得到 n 个相应的随机变量, 若此 n 个随机变量的联合分布是 n 维正态分布，则称随机过程 X(t) 是正态随机过程（高斯过程）。,正态随机过程定义：,n维正态随机变量的联合密度函数为：,则称 为 n 维正态随机变量，其中C为n维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：,n维正态随机变量的特征函数为：,6.5 正态随机过程的性质,若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。 二阶矩过程,若正态过程为宽平稳过程，则 mX(t)=a 为常数，RX(tk,ti)= RX(tk-ti). 任取n个抽样时刻 t1,t2,tn

7、，这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为C，其任意一元素 cki=RX(tk-ti)-a2=c(tk-ti)，则该n个正态变量对应的特征函数为：,证明：,若把 n 个时间抽样点作一个时间平移 h，即取抽样时刻为t1+h,t2+h,tn+h，则平移后的对应的 n 个正态分布的随机变量的特征函数为：,如果对高斯过程X(t)在n个不同时刻采样，所得一组随机变量 X1,X2,Xn 为两两互不相关，则这些随机变量也是相互独立的。 平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布仍为正态随机过程。 若正态随机过程X(t)在T上是均方可微的，则其导数 X(t)也是正态过程。 若正态随机过程X(t)在T上是均方可积

8、的，则其下列积分也是正态过程。,高斯过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。 若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只要输入随机过程的等效带宽远大于系统的通频带，系统输出端得到正态随机过程。,例题6-2： 设平稳正态过程 X(t) 均值为0，相关函数RX()=(e-2|)/4，求对给定时刻 t，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。 解：,例题6-3： X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机变量，且EA=EB=0，EA2=EB2=2，w0为常数，求X(t) 的一维，二维密度函数。 解：,X(t) 为正态随机过程，,所以：,或者,或者,所以,X(t)Xcos2t+Ysin2