2004考研线代部分试题.ppt

1、2004考研线代部分试题,一.填空,（1）设矩阵,，矩阵B满足,其中,为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则,.,【解】 已知等式两边同时右乘A，得,于是有,即,再两边取行列式，有,而,，故所求行列式为,（2）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆 矩阵Q为,(A),(B),(C),(D),【解】由题设，有,可见，应选(D),（3）设,，,其中,为三阶可逆矩阵,则,【解】因为,（4）设,是实正交矩阵，且,，,，则线性方程组,的解是_。,因为,而且,是实正交矩阵, 于是,的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以,【解】,选择题： (1) 设

2、,阶矩阵,与,等价, 则必有,(A) 当,时,.,(B) 当,时,.,(C) 当,时,(D) 当,时,(2) 设,阶矩阵,的伴随矩阵,若,是非齐次线性方程组,的互不相等的解，,则对应的齐次线性方程组,的基础解系,(A) 不存在.,(B) 仅含一个非零解向量,(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.,（3）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有,A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.,A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.,A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.,A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.,(A),(B),(C),(D)

3、,计算题,（1）（本题满分9分）,设有齐次线性方程组,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解,【解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有,当a=0时， r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为,由此得基础解系为,于是方程组的通解为,为任意常数,时，对矩阵B作初等行变换，有,可知,时,故方程组也有非零解，其同解方程组为,由此得基础解系为,于是方程组的通解为,其中k为任意常数,【解2】 方程组的系数行列式为,当,即a=0或,时，方程组有非零解,故方程组的同解方程组为,由此得基础解系为,于是方程组的通解为,为任意常数,时，对系数矩阵A作初等行变换，有,同解方程组为,得基础解系为,

4、通解为,其中k为任意常数,设,（2）,试讨论当,为何值时,(),能由,线性表示,(),不能由,唯一线性表示,能由,线性表示,(),但表示式不唯一, 并求出表示式,(3) (本题满分13分) 设,阶矩阵,() 求,的特征值和特征向量;,() 求可逆矩阵,使得,为对角矩阵.,解：(),时,特征值为,时,各都加到第一行上,属于,的全部特征向量为,为任意不为零的常数,时,得基础解系为,属于,的全部特征向量为,是不全为零的常数,时,特征值为,任意非零列向量均为特征向量,(),有,个线性无关的特征向量,令,时,时,对任意可逆矩阵,有,（4）（本题满分9分）,设矩阵,有一个二重根，,求a的值，并讨论A是否可

5、相,似对角化,【解】 A的特征多项式为,=,当,是特征方程的二重根时，则有,解得a= -2.,当a= -2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵,2E-A=,的秩为1，故,对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化,当,不是特征方程的二重根时，则有,为完全平方，从而18+3a=16，,解得,当a= -2/3时，A的特征值为2,4,4, 矩阵,4E-A=,秩为2，故,对应的线性无关的特征向量 只有一个，从而A不可相似对角化。,(4) (本题满分13分) 设线性方程组,已知,是该方程组的一个解，试求,() 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组 的基础解系表示全部解；,() 该方程组满足,的

6、全部解,【解】将,代入方程组，得,对方程组的增广矩阵,施以初等行变换, 得,()当,时,故方程组有无穷多解，且,为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为,故方程组的全部解为,为任意常数,当,时,故方程组有无穷多解，且,为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为,故方程组的全部解为,为任意常数,() 当,时,由于,，即,得,故方程组的解为,当,时,由于,，即,得,故方程组的全部解为,为任意常数,(5) (本题满分13分),设三阶实对称矩阵,的秩为2，,是,的二重特征值若,都是,的属于特征值6的特征向量,() 求,的另一特征值和对应的特征向量；,() 求矩阵,【解】(),是,的二重特征值所以,属于特征值6的线性无关的特征向量有2个,由题设知,可作为属