大学物理-多媒体课件_-1_振动.ppt

1、1,第4篇 波动与光学,2,机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化,等等,1 简谐振动的描述,广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动,物理量：,3,(简谐振动）,振动的形式:,4,重要的振动形式是 简谐振动(SHV) simple harmonic vibration,物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上： 付氏级数 付氏积分 也可以说， SHV是振动的基本模型 或说，振动的理论建立在SHV的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质,5,一.简谐振动的判据,表征了系统的能量,位移,振幅,最大位移,由初始条件决定,1.运动学表达式,广义：振动

2、的物理量,弹簧谐振子,特征量：,6,位相 周相,系统的周期性 固有的性质 称固有频率,圆频率,相位,初相位,角频率,取决于时间零点的选择,初位相,7,2. 动力学方程 以弹簧谐振子为例,设弹簧原长为坐标原点,由牛顿第二定律,令,简谐振动,整理得,8,例1 复摆（物理摆）的振动,对比谐振动方程知：,但若做小幅度摆动 即当,由转动定律,得,一般情况不是简谐振动,时,满足的方程：,9,振动的物理量,固有圆频率,角位移,振动表达式,10,思考: 1)证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动， 并求出振动的频率。 2）若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率 相等，单摆的摆长l应为多少？ （此摆长l叫复摆的等值

3、单摆长）,11,例2 电磁震荡电路,振动的物理量是电量,电流也是谐振物理量,对比,12,1）谐振动表达式,从对象的运动规律出发 （电学规律 力学规律等）,SHV的标准形式,2）动力学方程,S H V 的判据,13,二. 简谐振动的描述,1.解析描述,14,均是作谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,超前 落后,15,2.曲线描述,16,3.旋转矢量描述,用匀速圆周运动 几何地描述 S H V,规定,端点在x轴上的投影式,逆时针转,以角速度,17,1） 直观地表达振动状态,当振动系统确定了振幅以后， 表述振动的关键就是相位，即 表达式中的余弦函数的综量,而旋转矢量图 可直观地显示该综量,

4、分析解析式,可知,用图代替了文学的叙述,18,如 文学叙述说，t 时刻弹簧振子质点 在正的端点,旋矢与轴夹角为零, 质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,19,质点过平衡位置向负方向运动,同样,注意到：,20,向正方向运动,或,或,21,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,称两振动同相,2） 方便地比较振动步调,位移与加速度,称两振动反相,若,22,3）方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子。 t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。 求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间。,23,解：设 t 时刻到达

5、末态 由已知画出t = 0 时刻的旋矢图,再画出末态的旋矢图,由题意选蓝实线所示的位矢 设始末态位矢夹角为 因为,得,繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得,24,2 简谐振动的能量 如，弹簧谐振子,系统机械能守恒 以弹簧原长为势能零点,25,1) 普适,2) 时间平均值,3) 由简谐振动能量求振动,26,例 劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m， 半径为R的匀质圆柱体的对称轴上， 使之作无滑动的滚动。,证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率,有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便,27,弹簧原长处为坐标原点 设原点处为势能零点 质心在xc时系统的机械能为,解：分析振动系

6、统机械能守恒 建坐标如图,（注意上式中的是刚体转动的角速度）,28,两边对t求导数 得,将,代入上式,得,29,与动力学方程比较知，物理量xc的 运动形式是谐振动,方便,圆频率,周期,30,3 阻尼振动与阻尼受迫振动 一. 阻尼振动 二 .受迫振动 三.共振,31,一. 阻尼振动 1.阻尼振动 系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数 叫阻力系数 关系式为:,32,令,称阻尼因子,系统固有频率,2.阻尼振动的动力学方程,由牛顿第二定律有,整理得,式中,33,如果无阻尼,是谐振动的形式,存在阻尼,仍振动但能量会衰减,如果能振动起来（欠阻尼

7、情况）， 上述方程的解是什么形式呢？ 从物理上考虑：,阻尼振动方程为,3.振动表达式,34,所以，解的形式必定是 在谐振动的基础上乘上一衰减因子， 即形式为：,可以证明：,35,36,二 .受迫振动 1.受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化 即,由牛顿第二定律有,37,整理得,其中,固有频率,阻尼因子,38,3.稳定状态的振动表达式 受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振动 其表达式为：,用旋矢法可求出上式的A和,39,40,画任意时刻旋矢图,由旋矢图可知：,得,位移与驱动力的相位差,41,在弱阻尼即 0的情况下，,系

8、统的振动速度和振幅都达到最大值 共振。,当 = 0时，,三.共振,共振现象 普遍 有利有弊,160年前，拿破仑入侵西班牙 桥塌 几十年后，圣彼德堡卡坦卡河 1940年，美国，桥，大风，流速,演示共振,42,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,43,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振,桥被摧毁。,(视频再现桥塌过程),44,4 简谐振动的合成 一.振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成 二.振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成 三. 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 四. 两个垂直方向谐振动的合成 五.

9、谐振分析,45,当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 可以给出重要的实际应用,46,一.振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成,结果： 仍是谐振动 振动频率仍是,振动的振幅,（双光束干涉的理论基础）,47,若,反相，合振动减弱,同相，合振动加强,特殊结果：,若,若,两振动同相 两振动反相,可能的最强振动 “振动加振动”不振动,48,二. 振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成,49,线性相加,用旋矢

10、法求解,由图得,50,一般情况,特例 1）,主极大,2）,的倍数的整数,极小,51,3）,次极大,（多光束干涉的理论基础）,52,例：三个同频率 同振幅A0 同方向的SHV 相邻相位差为 /2 求：合振幅A,解：画旋矢图,/3,由图很容易得到 A = 2A0,或将已知条件代入公式,得出结果（请自解）,53,三. 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 拍 分振动：,线性相加：,结论： 合成已不再是谐振动 但考虑到 1 2 可以用 谐振动表达式等效，加深认识。,54,分析：,则,较,随时间变化缓慢,将合成式写成谐振动形式,55,合振动可看做是振幅缓变的谐振动 合成振动如图示,

11、表达式为,56,拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,测未知频率的一种方法,由式,得,演示 两音叉拍,57,四. 两个垂直方向谐振动的合成 1. 同频率的谐振动合成,线性相加：,轨迹方程是椭圆,即，合成的一般结果是椭圆,58,不同，椭圆形状、旋向也不同。,59,例1 用旋矢法作图,60,a),SHV,b),振动方向旋转,c),正椭圆 若,（偏振光干涉的理论基础）,例2 特殊结果,圆,61,2.频率比是简单的正整数,合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图,例如左图：,应用：测定未知频率,演示垂直合成,62,五.谐振分析,利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干SHV的叠加(合成的逆运算）。,对周期性振动：,T 周期，,k = 1 基频（）,k = 2 二次谐频（2）,k = 3 三次