第1讲　空间几何体的三视图、表面积和体积

1、第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积,高考定位1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.,1.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(),真 题 感 悟,解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A. 答案A,2.(2018全国卷)已知圆柱的

2、上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(),答案B,3.(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.,所以模型的体积为V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，,所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g). 答案118.8,

3、4.(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有_个面，其棱长为_(本题第一空2分，第二空3分).,1.空间几何体的三视图,(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.,考

4、点 整 合,2.空间几何体的两组常用公式,(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式： 圆柱的表面积S2r(rl)； 圆锥的表面积Sr(rl)；,圆台的表面积S(r2r2rlrl)； 球的表面积S4R2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；,热点一空间几何体的三视图与直观图 【例1】 (1)(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(),(2)(2019合肥质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1B

5、1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为(),(2)如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，AC，AE，CF，则EFAC，平面ACFE即为平面ACE截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧视图如选项A所示.,答案(1)B(2)A,探究提高1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.,【训练1】 (1)某

6、四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(),A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2019西安模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(),A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台,解析(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，分别是PAD，PCD，PAB.,(2)因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥.故选A. 答案(1)C(2)A,热点二几何体的表面积与体积 角度1空间几何体的表面积,【例21】 某多面体的三视图如图所示，其中正

7、视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(),A.10 B.12C.14 D.16,答案B,探究提高1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,【训练2】 (2019唐山模拟)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为(),答案D

8、,角度2空间几何体的体积,【例22】 (1)(2019浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(),A.158 B.162 C.182 D.324,解析(1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.,探究提高1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面

9、放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.,【训练3】 (1)(2019北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_.,(2)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_.,解析(1)由三视图知，该几何体是如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，去掉四棱柱MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体，,所求几何体的体积V432440.,热点三多面

10、体与球的切、接问题,【例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是(),(2)(多填题)(2019湖南师大附中调研)在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，且PA3，BCAB4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R_；内切球的体积V_.,解析(1)由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.,球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径

11、R最大.,依题意RtPABRtPAD，则内切球O在侧面PAD内的正视图是PAD的内切圆，,(2)在四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体， 则(2R)2AB2AD2AP21616941，,探究提高1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.,(2)(2019咸阳模拟)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为() A.13 B.20 C.25 D.29,(2)把三棱锥PABC放到长方体中，如图